Anzahl Automorphismen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Daystrom |
| Aufgabe | | Sei [mm] C_p [/mm] eine zyklische Gruppe der Ordnung p. Bestimmen Sie die Anzahl der Automorphismen der Gruppe [mm] C_p \times C_p \times C_p [/mm]. |
Hallo,
Erstmal vorweg zur Info: Das ist eine Aufgabe aus einem bayerischen Mathe-Staatsexamen von 2003.
Ich habe mir jetzt mal folgendes überlegt:
In [mm] C_p [/mm] gibts doch p! Automorphismen. Ich kann ja jedes Element auf ein beliebiges anderes abbilden, oder? Da ich dann in jeder [mm] C_p [/mm] p! Automorphismen habe, müsste es insgesamt [mm] (p!)^3 [/mm] die Anzahl der Automorphismen sein, die mir insgesamt innerhalb der jeweiligen [mm] C_p [/mm] zur Verfügung stehen. Wenn ich dann noch sage, dass ich die Elemente der einzelnen [mm] C_p [/mm] auch vertauschen kann, dann müsste da doch [mm] 3!*p!*2!*p!*1!*p! [/mm] rauskommen.
Ich vermute jedoch, dass ich irgendwo ganz weit oben einen Denkfehler drin habe. Gibt es in [mm] C_p [/mm] wirklich p! Automorphismen und darf ich so ohne weiteres dann auf das Kreuzprodukt folgern?
ciao
Phil
PS: Bitte nicht hauen, falls das total grottenfalsch ist. 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Fr 21.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> PS: Bitte nicht hauen, falls das total grottenfalsch ist.
>
Ich hau nicht - aber es ist grottenfalsch! Es gibt viel weniger Automorphismen - du hast da alle Permutationen aufgezählt. Das geht schon mit dem neutralen Elemnt nicht gut. Versuche erstmal die Automorphismen der einzelnen Gruppe heraus zu bekommen. Dann überleg dir doch mal, warum [m](e,e,p),(e,p,e),(p,e,e)[/m], p erezugt die Gruppe, e neutrales Elemnt, dein Kreuzprodukt erzeugen.
SEcki
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| Aufgabe | | Welche Automorphismen gibt es in zyklischen Gruppen, bzw wie komme ich drauf? |
Ok, stimmt, funktioniert mit id schon nicht. Anderer Ansatz:
1) id muss auf id, damit es funktioniert.
2) Falls [mm]ord(x)=k[/mm] muss es auf ein Element der Ordnung k abgebildet werden.
So, falls [mm]|G|[/mm] prim, dann haben alle bis auf id die prime Ordnung. Falls die Ordnung der Gruppe nicht prim, dann scheint es mir, als ergäbe das eine schöne Gauß-Verteilung, welche Ordnung die Elemente haben. (Ist das richtig?)
Bsp [mm]\IZ8[/mm]: ord(1), ord(3), ord(5), ord(7) sind jeweils 8, ord(2) und ord(6) sind 4, und schließlich ord(4) ist 2.
Jetzt fällt mir noch was ein:
Es gilt ja: Für ein [mm]n \in \IN[/mm] gibt es bis auf Isomorphie genau eine zyklische Gruppe der Ordnung n, nämlich [mm]\IZn[/mm]. [mm] C_p \times C_p \times C_p [/mm] müsste ja Ordnung [mm] p^3 [/mm] haben, oder? Heißt das dann, dass wenn ich weiß, wie die Ordnungen der Elemente verteilt sind, ich auch weiß, wieviele Automorphismen es gibt?
Oder denke ich gerade zu umständlich bzw wieder falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Mal was ganz anderes:
Es ist ja [mm] $C_p$ [/mm] isomorph zu [mm] $\IZ/p\IZ$, [/mm] und [mm] $C_p \times C_p \times C_p$ [/mm] isomorph zu [mm] $\IZ/p\IZ^3$, [/mm] und zwar als [mm] $\IZ/p\IZ$-Vektorraum! [/mm] Und die Automorphismen von [mm] $\IZ/p\IZ^3$ [/mm] als Gruppe sind genau die [mm] $\IZ/p\IZ$-Vektorraum-Isomorphismen [/mm] von [mm] $\IZ/p\IZ^3$.
[/mm]
Du kannst also genauso gut die Anzahl der invertierbaren $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrizen ueber [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] zaehlen. Das geht wie folgt: Du musst ja drei Spalten waehlen, die linear unabhaengig sind. Fuer die erste Spalte hast du [mm] $p^3 [/mm] - 1$ Moeglichkeiten (soll ja nicht grad der Nullvektor sein). Fuer die zweite Spalte hast du dann noch alle Vektoren, die nicht in dem von der ersten Spalte erzeugten Raum liegen; also noch [mm] $p^3 [/mm] - p$ Moeglichkeiten. In der dritten Spalte hast du dann [mm] $p^3 [/mm] - [mm] p^2$ [/mm] Moeglichkeiten (siehst du warum?).
Also gibt es [mm] $(p^3 [/mm] - 1) [mm] (p^3 [/mm] - p) [mm] (p^3 [/mm] - [mm] p^2)$ [/mm] Automorphismen.
So. Wenn du nun nicht den Weg ueber Vektorraeume gehen willst, kannst du versuchen diesen Beweis fuer deine Gruppen ''nachzumachen''.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Mo 24.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Felix,
müßte ich das nicht noch mit 3! multiplizieren, weil ich die Spalten permutieren kann? Oder übersehe ich jetzt was?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Dieter!
> müßte ich das nicht noch mit 3! multiplizieren, weil ich
> die Spalten permutieren kann? Oder übersehe ich jetzt was?
Du uebersiehst was Dieses Verfahren sucht sozusagen alle Matrizen mit Spalten [mm] $v_1, v_2, v_3$ [/mm] so, dass [mm] $v_1 \neq [/mm] 0$ ist, [mm] $v_2 \not\in \langle v_1 \rangle_{\IZ/p\IZ}$ [/mm] und [mm] $v_3 \not\in \langle v_1, v_2 \rangle_{\IZ/p\IZ}$. [/mm] Wenn du also die Spalten einer solchen Matrix permutierst, erhaelst du wieder eine Matrix vom gleichen Typ. Also bekommst du so genau die Anzahl der invertierbaren Matrizen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:01 Di 25.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Felix,
man soll doch immer
erstens mit Bleistift und Papier arbeiten
und zweitens gründlich nachdenken,
wir sind hier ja nicht beim Blitzschach.
Danke für deine Nachsicht und Grüße aus dem Norden
Dieter
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Hallo Felix!
Ich hab versucht deinen Lösungsvorschlag zu durchdenken.
Ich hab das dann ganz anders versucht und leider auch ein ganz anderes Ergebnis bekommen!
Also ich schaue mir zuerst mal die Gruppe [mm] C_p [/mm] an!
Ich weiß, dass jede zyklische Gruppe [mm] C_p [/mm] isomorph ist zu [mm] (\IZ_p, [/mm] +), da es bis auf Isomorphie für jedes n [mm] \in \IN [/mm] genau eine zyklische Gruppe gibt, nämlich [mm] (\IZ_p, [/mm] +).
Die Automorphismengruppe einer zyklischen Gruppe [mm]Aut(C_p)[/mm] ist ja isomorph zur primen Restklasse modulo p [mm] (\IZ/p\IZ).
[/mm]
So hier kommt nun die Eulersche [mm] \phi-Funktion [/mm] ins Spiel.
[mm] \phi(p) [/mm] gibt mir ja genau die Elemente von [mm] (\IZ/p\IZ) [/mm] zurück, also auch die Anzahl der Automorphismen, da der Automorphismus ja genau die Einheiten auf die Einheiten abbildet, aber das haben wir in letzter Zeit ja schon ein paar mal gesehen! ;)
Hier steht auch nirgends, dass p eine PRIMzahl ist. Mit dem p ist das schon verwirrend, eigentlich sogar gemein!!!!
Also gehe ich davon aus, dass p nicht prim ist.
Bei dem Produkt [mm] C_p \times C_p \times C_p [/mm] bekomme ich doch dann genau [mm] \phi(p)^3 [/mm] Automorphismen, oder?
Da p nicht prim ist, kann ich das auch nicht mehr vereinfachen!!!
LG
Nicole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Nicole!
> Ich hab versucht deinen Lösungsvorschlag zu durchdenken.
> Ich hab das dann ganz anders versucht und leider auch ein
> ganz anderes Ergebnis bekommen!
>
> Also ich schaue mir zuerst mal die Gruppe [mm]C_p[/mm] an!
> Ich weiß, dass jede zyklische Gruppe [mm]C_p[/mm] isomorph ist zu
> [mm](\IZ_p,[/mm] +), da es bis auf Isomorphie für jedes n [mm]\in \IN[/mm]
> genau eine zyklische Gruppe gibt, nämlich [mm](\IZ_p,[/mm] +).
Du meinst sicher [mm] $(\IZ_n, [/mm] +)$, oder?
> Die Automorphismengruppe einer zyklischen Gruppe [mm]Aut(C_p)[/mm]
> ist ja isomorph zur primen Restklasse modulo p [mm](\IZ/p\IZ).[/mm]
Nein, die Automorphismengruppe ist isomorph zur Einheitengruppe des Ringes [mm] $\IZ_p$, [/mm] also zur Gruppe [mm] $(\IZ_p^\ast, \cdot)$.
[/mm]
> So hier kommt nun die Eulersche [mm]\phi-Funktion[/mm] ins Spiel.
Genau: [mm] $(\IZ_p^\ast, \cdot) [/mm] = [mm] \phi(p)$. [/mm] Und wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist das $p - 1$.
> [mm]\phi(p)[/mm] gibt mir ja genau die Elemente von [mm](\IZ/p\IZ)[/mm]
> zurück, also auch die Anzahl der Automorphismen, da der
> Automorphismus ja genau die Einheiten auf die Einheiten
> abbildet, aber das haben wir in letzter Zeit ja schon ein
> paar mal gesehen! ;)
Genau *g*
> Hier steht auch nirgends, dass p eine PRIMzahl ist. Mit dem
> p ist das schon verwirrend, eigentlich sogar gemein!!!!
> Also gehe ich davon aus, dass p nicht prim ist.
Ok. Ich bin bisher davon ausgegangen das es prim ist... (Der urspruengliche Autor hat sich leider nie wieder dazu geaeussert...)
> Bei dem Produkt [mm]C_p \times C_p \times C_p[/mm] bekomme ich doch
> dann genau [mm]\phi(p)^3[/mm] Automorphismen, oder?
Nein, du kannst ja die Komponenten vertauschen! Dadurch bekommst du noch viel mehr Automorphismen!
> Da p nicht prim ist, kann ich das auch nicht mehr
> vereinfachen!!!
Doch. Dazu brauchst du allerdings ein wenig Mathematik
Einmal kannst du $p$ als Produkt von Primzahlpotenzen [mm] $p_i^{e_i}$ [/mm] schreiben, mit den [mm] $p_i$ [/mm] paarweise verschieden. Also $p = [mm] \prod_{i=1}^k p_i^{e_i}$.
[/mm]
Dann ist nach dem Chinesischen Restsatz [mm] $C_p^e \cong (C_{p_1^{e_1}})^e \times \dots \times (C_{p_1^{e_1}})^e$ [/mm] und dies induziert einen Isomorphismus [mm] $Aut(C_p^e) \cong Aut((C_{p_1^{e_1}})^e) \times \dots \times Aut((C_{p_k^{e_k}})^e)$.
[/mm]
Jetzt ist [mm] $\IZ_{p_i^{e_i}}$ [/mm] ein lokaler Ring mit Restklassenkoerper [mm] $\IZ_{p_i}$, [/mm] und diese Projektion induziert surjektive Homomorphismen [mm] $\IZ_{p_i^{e_i}}^e \to \IZ_{p_i}^e$ [/mm] (das ist klar) und [mm] $Aut(\IZ_{p_i^{e_i}}^e) \to Aut(\IZ_{p_i}^e)$ [/mm] (die Surjektivitaet ist nicht klar, aber auch nicht allzu schwer). Der Kern des letzten Homomorphismus hat die Kardinalitaet [mm] $p_i^{e^2 (e_i - 1)}$ [/mm] (ist auch nicht klar, aber auch nicht schwer).
Damit ist also [mm] $|Aut(C_p^e)| [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^k \left( p_i^{e^2 (e_i-1)} |Aut(C_{p_i}^e)| \right)$, [/mm] und [mm] $|Aut(C_{p_i}^e)|$ [/mm] kannst du mit der von mir angegebenen Formel berechnen da [mm] $p_i$ [/mm] prim ist.
Zu den Stellen mit 'nicht klar, aber auch nicht schwer': Dazu brauchst du drei Fakten:
1) Eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix $A$ ueber einem Ring $R$ ist genau dann invertierbar, wenn [mm] $\det [/mm] A [mm] \in [/mm] R^*$ ist, also eine Einheit ist.
2) Die Determinante ist natuerlich, d.h. ist [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] S$ ein Ringmorphismus, $A$ eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix ueber $R$ und [mm] $\varphi(A)$ [/mm] die komponentenweise Anwendung von [mm] $\varphi$ [/mm] auf $A$ (also eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix ueber $S$), so ist [mm] $\det \varphi(A) [/mm] = [mm] \varphi(\det [/mm] A)$.
3) Ist $R$ ein lokaler Ring und [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] k$ die Projektion auf den Restklassenkoerper, so ist $x [mm] \in [/mm] R$ genau dann invertierbar, wenn [mm] $\varphi(x) \neq [/mm] 0$ ist.
LG Felix
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