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| Aufgabe | B ist Teilmenge eines Vektorraums V.
Dann sind äquivalent:
>B ist Basis von V
>B ist maximal unabhängige Teilmenge von V, d.h B linear unabhängig und jede echte Obermenge ist linear abhängig. |
Ich habe kurz eine allgemeine Fragen zu Basen:
>Muss die Basis die einen V erzeugt auch in V enthalten sein?
1=>2
B ist Basis von V, also ist B linear unabhängig und <B>=V.
Indirekt:
Angenommen B [mm] \subset [/mm] B' [mm] \subseteq [/mm] V und B' linear unabhängig.
V=<B> [mm] \subset \subseteq [/mm] V
Wo ist aber nun mein Widerspruch?
2=>1
B ist max linear unabhängig.
ZuZeigen: <B> = V
Da hab ich keine Idee.
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> B ist Teilmenge eines Vektorraums V.
> Dann sind äquivalent:
> >B ist Basis von V
> >B ist maximal unabhängige Teilmenge von V, d.h B linear
> unabhängig und jede echte Obermenge ist linear abhängig.
> Ich habe kurz eine allgemeine Fragen zu Basen:
> >Muss die Basis die einen V erzeugt auch in V enthalten
> sein?
Hallo,
ja.
Wenn in B eine Element wäre, welches nicht in V ist, so wäre dieses dann ja auch in $<B>$ und damit wäre [mm] \not=V
[/mm]
>
> 1=>2
> B ist Basis von V, also ist B linear unabhängig und [mm][/mm]=V.
> Indirekt:
> Angenommen B [mm]\subset[/mm] B' [mm]\subseteq[/mm] V und B' linear
> unabhängig.
> V=$<B>$ [mm]\subset \subseteq[/mm] V
> Wo ist aber nun mein Widerspruch?
Darin, daß V eine echte (!) Teilmenge von V ist.
>
> 2=>1
> B ist max linear unabhängig.
> ZuZeigen: $<B>$= V
> Da hab ich keine Idee.
Mal angenommen, B würde nicht V erzeugen. Dann gäbe es ein [mm] v\in [/mm] V, welches nicht in $<B>$ ist.
Dann wäre [mm] B\cup\{v\} [/mm] linear unabhängig...
LG Angela
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> > B ist Teilmenge eines Vektorraums V.
> > Dann sind äquivalent:
> > >B ist Basis von V
> > >B ist maximal unabhängige Teilmenge von V, d.h B
> linear
> > unabhängig und jede echte Obermenge ist linear abhängig.
> > Ich habe kurz eine allgemeine Fragen zu Basen:
> > >Muss die Basis die einen V erzeugt auch in V enthalten
> > sein?
>
> Hallo,
>
> ja.
> Wenn in B eine Element wäre, welches nicht in V ist, so
> wäre dieses dann ja auch in [b], und damit wäre [mm][mm] \not=V
[/mm]
Was meinst du mit dem Audruck [b] ?
2=>1
> Mal angenommen, B würde nicht V erzeugen. Dann gäbe es
> ein [mm]v\in[/mm] V, welches nicht in [mm][/mm] ist.
> Dann wäre [mm]B\cup\{v\}[/mm] linear unabhängig...
[mm] \not=V [/mm] dh. [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V \ <B>
Warum folgt nun => B [mm] \cup \{v\} [/mm] l.u. ?
Widerspruch:
B [mm] \subset [/mm] B [mm] \cup \{v\} [/mm] so muss muss B [mm] \cup \{v\} [/mm] wegen 2) linear abhängig sein.
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Hallo,
der Formeleditor hat sich irgendwie verselbständigt, ich krieg' 'nen Anfall.
Ich versuche meine Antwort zu bearbeiten.
LG Angela
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Hallo,
ich krieg' echt noch die Mätzchen: das Zitieren Deines Beitrages klappt überhaupt nicht, weil der s---upersüße Formeleditor die spitzen Klammern nicht mag und eckige draus macht und in der Folge ein ein Affentheater veranstaltet...
Mit dem b in eckigen Klammern war $ <B>$ gemeint.
Du fragst:
"Warum folgt nun => B $ [mm] \cup \{v\} [/mm] $ l.u. ?"
Eigentlich dachte ich, daß Du Dir Gedanken darüber machst...
Angenommen, es gibt eine Linearkombination aus Vektoren [mm] b_i [/mm] aus B und v mit
[mm] \summe \lambda_b_i [/mm] + [mm] \mu [/mm] v=0
Da [mm] v\not\in [/mm] $<B>$, muß sein [mm] \mu=0, [/mm] und wg. der Unabhängigkeit von B folgt, daß die [mm] \lambda_i [/mm] alle =0 sind.
LG Angela
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Danke, nur etwas ist mir noch unklar.
wieso folgt aus
> Da $ [mm] v\not\in [/mm] $ <B>, muß sein $ [mm] \mu=0, [/mm] $
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> Danke, nur etwas ist mir noch unklar.
> wieso folgt aus
> > Da [mm]v\not\in[/mm] $<B>$, muß sein [mm]\mu=0,[/mm]
Hallo,
wir wollten doch wissen, ob [mm] B\cup\{v\} [/mm] linear unabhängig ist.
Dazu betrachten wir die Linearkombination
$ [mm] \summe \lambda b_i [/mm] $ + $ [mm] \mu [/mm] $ v=0
<==> [mm] \summe (-\lambda b_i)=\mu [/mm] v.
Wir hatten ja, daß [mm] v\not\in [/mm] $<B>$, deshalb kann das einzige Vielfach von v, was wir als Linearkombination von rgendwelchen [mm] b_i [/mm] schreiben können, die 0 sein, also [mm] \mu=0.
[/mm]
LG Angela
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