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| Aufgabe | http://www1.minpic.de/bild_anzeigen.php?id=37563&key=56912115&ende
[mm] (2-e^x)^2=(e^x-3)^2
[/mm]
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Hallo,
Ich verstehe nicht man so etwas überhaupt berechnet. Wann schreibe ich e anstatt ln?Und wie behandle ich Hochzahlen?Einfach die Algorithemngesetze anwenden?Wie sieht es aus,bei z.B s. oben .
Muss ich erst die Klammer auflösen ? Wenn ja,wie mach ich das?(Bei mir klappt das irgendwie nicht....
e ist doch die Umkehrung von ln?WEnn auf der linken Seite e steht und man das Ergebnis ausrechnen möchte, muss man dann ln 'rechnen'?
Ich wäre sehr dankbar,wenn mir jemand helfen könnte!Danke im voraus
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Ok, ich sehe Deinem Scan an, dass Du tatsächlich etwas Grundsätzliches nicht verstanden hast. Deswegen erstmal nicht direkt zu Deiner Aufgabe, sondern zum Logarithmus. Ich fange aber woanders an und gehe den Web über Potenzen.
In der Grundschule hast Du gelernt, dass die Umkehrung der Addition die Subtraktion ist. Wieviele Äpfel muss ich besorgen, wenn ich schon vier habe, aber sieben brauche? Aus der Aufgabe 4+3=7 ist 3=7-4 geworden. Oder 4=7-3. Die Addition ist kommutativ, austauschbar, reihenfolgeunabhängig.
Dann kam die Multiplikation und mit ihr die Division. Wenn ich an einem Tag 6 Hausaufgaben schaffe und 30 erledigen muss, wieviele Tage brauche ich dann? Aus der Aufgabe 6*5=30 ist die Aufgabe 5=30:6 oder 6=30:5 geworden. Auch die Multiplikation ist kommutativ.
Der nächste Schritt sind Potenzen. Statt 5*5*5 schreibt man [mm] 5^3. [/mm] Aber das ist nicht mehr austauschbar: [mm] 5^3=125\not=243=3^5. [/mm] Darum braucht man zwei Umkehrungen. Die eine weiß das Ergebnis und den Exponenten und fragt nach der dritten Zahl. Welche Zahl hoch 6 ergibt 64? Das ist die Wurzel: [mm] \wurzel[6]{64}=2, [/mm] nur eine Umstellung von [mm] 2^6=64.
[/mm]
Die andere Umkehrung weiß das Ergebnis und die zu potenzierende Zahl, die Basis. Welchen Exponenten braucht die 7, damit das Ergebnis 343 lautet? Das ist der Logarithmus (zu einer allgemeinen Basis, hier eben der 7): [mm] log_7{343}=3. [/mm] Das ist auch nur eine Umstellung, hier von [mm] 7^3=343.
[/mm]
Das musst Du erst einmal verstehen, sonst klappt das ganze Rechnen nicht.
Es zeigt sich, dass für das Rechnen mit Logarithmen eigene Regeln aufzustellen sind, die aber im schulischen Bereich noch alle aus den Regeln für Potenzen herzuleiten sind. Du kannst sie Dir also alle veranschaulichen, indem Du Beispiele suchst, wo die "Logarithmen" als Potenzen an ihrer Basis auftauchen.
Zu den besonderen Logarithmen gehört nun der "natürliche" Logarithmus. Warum er besonders ist, wirst Du erst in der Oberstufe merken. Er ist definiert als der Logarithmus zur Basis e, einer ziemlich schrägen Zahl. Sie kann nicht als Bruch dargestellt werden, hat aber auch eine Reihe besonderer Eigenschaften.
Der natürliche Logarithmus wird mit ln abgekürzt, das ist das gleiche wie [mm] log_e, [/mm] also der Logarithmus zur Basis e. Und wie jeder Logarithmus sind die beiden Umkehrfunktionen:
[mm] e^{\ln{a}}=a, \ln{(e^a)}=a
[/mm]
Nun zu Deiner Aufgabe (nicht dem gescannten Zettel, nur der in Deiner Anfrage):
[mm] (2-e^x)^2=(e^x-3)^2
[/mm]
Du löst erst einmal die Klammern auf (beides 2. binomische Formel).
[mm] 2^2-2*2*e^x+(e^x)^2=(e^x)^2-2*3*e^x+9
[/mm]
Schade, dass die [mm] (e^x)^2 [/mm] wegfallen. Sonst hätte ich noch auf die Regel hinweisen können, dass bei fortgesetztem Potenzieren nur die Exponenten multipliziert werden: [mm] (e^x)^2=e^{2x}.
[/mm]
Übrig bleibt von der Gleichung: [mm] 6e^x-4e^x=9-4, [/mm] also [mm] e^x=\bruch{5}{2} [/mm] (nachrechnen!)
Damit bist Du x sehr nahe. Du holst es mit dem Logarithmus aus seiner Rolle als Exponent. Du musst ihn natürlich auf beiden Gleichungsseiten anwenden:
[mm] \ln{e^x}=\ln{\bruch{5}{2}} [/mm]
und damit, nach den weiteren Rechenregeln für Logarithmen:
[mm] x=\ln{5}-\ln{2}
[/mm]
Versuch das mal nachzuvollziehen. Und dann mach Dich erst an ganz einfache Aufgaben, und erst dann nochmal an Deinen Zettel.
Es ist eigentlich gar nicht so schwer, wenn man sich erstmal dran gewöhnt hat. Das war doch beim Multiplizieren damals auch nicht anders, oder?
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