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Hallo Matheraum.de-ler,
ich habe folgende Frage zu der Aufgabe:
Es sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Folge in [mm] K(\IR [/mm] oder [mm] \IC) [/mm] mit der Eigenschaft, dass ein [mm] q\in(0,1) [/mm] existiert mit [mm] |a_{n+1}-a_{n}|\le q|a_{n}-a_{n-1}| \forall n\ge2.
[/mm]
Zeigen sie, dass [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergiert.
Tipp: Beweisen Sie zunächst, dass [mm] |a_{n+1}-a_{n}|\le q^{n-1}|a_{2}-a_{1}|, n\in\IN [/mm]
und folgern Sie, dass [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Cauchyfolge ist.
Es gibt darauf 4 Punkte.
Hier meine Lösung:
Da [mm] q\in(0,1), [/mm] gilt dann insbesondere [mm] |a_{n+1}-a_{n}|\le |a_{n}-a_{n-1}|. [/mm] Daraus lässt sich schliessen, dass bei beliebigen [mm] n\in\IN [/mm] der Abstand der Nachbarglieder immer kleiner wird. Zb. der Abstand zwischen [mm] a_{3} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] ist kleiner als der zwischen [mm] a_{2} [/mm] und [mm] a_{1}. [/mm] Das widerum ist ja gerade die Eigenshaft einer Cauchyfolge. Und lt. Satz aus der Vorlesung ist jede Cauchyfolge konvergent.
Kann man das so lassen, oder gibt es Kritik an meiner Aussage, wenn ja gibt es noch andere Ansätze, da ich mit dem Tipp ehrlich gesagt nichts anfangen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo Matheraum.de-ler,
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> ich habe folgende Frage zu der Aufgabe:
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> Es sei [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge in [mm]K(\IR[/mm] oder [mm]\IC)[/mm] mit
> der Eigenschaft, dass ein [mm]q\in(0,1)[/mm] existiert mit
> [mm]|a_{n+1}-a_{n}|\le q|a_{n}-a_{n-1}| \forall n\ge2.[/mm]
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> Zeigen sie, dass [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] konvergiert.
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> Tipp: Beweisen Sie zunächst, dass [mm]|a_{n+1}-a_{n}|\le q^{n-1}|a_{2}-a_{1}|, n\in\IN[/mm]
> und folgern Sie, dass [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Cauchyfolge
> ist.
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> Es gibt darauf 4 Punkte.
>
> Hier meine Lösung:
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> Da [mm]q\in(0,1),[/mm] gilt dann insbesondere [mm]|a_{n+1}-a_{n}|\le |a_{n}-a_{n-1}|.[/mm]
> Daraus lässt sich schliessen, dass bei beliebigen [mm]n\in\IN[/mm]
> der Abstand der Nachbarglieder immer kleiner wird. Zb. der
> Abstand zwischen [mm]a_{3}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] ist kleiner als der
> zwischen [mm]a_{2}[/mm] und [mm]a_{1}.[/mm] Das widerum ist ja gerade die
> Eigenshaft einer Cauchyfolge.
Dies ist zwar eine Eigenschaft, die eine Cauchyfolge hat, aber es ist nicht die definierende Eigenschaft einer Cauchyfolge.
Nachtrag (Revision 1): Müllbeispiel entfernt - muss nochmals darüber in Ruhe nachdenken (aber nicht gerade jetzt).
Nachtrag (Revision 2): Besseres Beispiel: die Glieder der Folge [mm] $b_n [/mm] := [mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ [/mm] haben auch immer kleineren Abstand voneinander, aber der Limes der [mm] $b_n$ [/mm] existiert nicht, wegen [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}=+\infty$
[/mm]
> Und lt. Satz aus der
> Vorlesung ist jede Cauchyfolge konvergent.
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> Kann man das so lassen, oder gibt es Kritik an meiner
> Aussage,
Du musst zurück zur exakten Definition einer Cauchyfolge und zeigen, dass die [mm] $a_n$ [/mm] in der Tat eine Cauchyfolge bilden. Das heisst, Du musst beweisen, dass es für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0\in \IN$ [/mm] gibt, so dass für alle $m,n> [mm] n_0$ [/mm] gilt: [mm] $|a_n-a_m|<\varepsilon$.
[/mm]
> wenn ja gibt es noch andere Ansätze, da ich mit
> dem Tipp ehrlich gesagt nichts anfangen kann.
Falls Du den vom Tipp empfohlenen Beweis führen kannst, dass [mm] $|a_{n+1}-a_{n}|\le q^{n-1}|a_{2}-a_{1}|$, [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$, [/mm] so kannst Du auch zeigen, dass für alle [mm] $m,n>n_0$ [/mm] folgt, dass
[mm]|a_n-a_m|\leq |a_n-a_{n-1}|+|a_{n-1}-a_{n-2}|+|a_{n-2}-a_{n-3}|+\cdots+|a_{m+1}-a_m|
\leq q^{n_0-2}\cdot \frac{1}{1-q}\cdot |a_2-a_1|[/mm]
wobei ich $n>m$ angenommen habe. Das erste Ungleichheitszeichen beruht auf einer mehrfachen Anwendung der Dreiecksungleichung, das zweite Ungleichheitszeichen auf dem Tipp.
Da [mm] $q^{n_0-2}\rightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n_0\rightarrow \infty$ [/mm] kann man also in der Tat die Differenz [mm] $|a_n-a_m|$ [/mm] für alle [mm] $n,m>n_0$ [/mm] kleiner als ein beliebig vorgegebenes [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ machen.
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