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Hi,
Ich hoffe, ihr könnt mir bei der folgenden Aufgabe helfen:
Aufgabe:
Zur Lösung der Differentialgleichung $c_1y''(x) + c_2y'(x) + c_3y(x) = f(x)$
für $x [mm] \in \left(\alpha,\beta\right)$ [/mm] mit [mm] $y(\alpha) [/mm] = a$, [mm] $y(\beta) [/mm] = b$ mit
[mm] $c_1,c_2,c_3 \in \IR,c_1 \ne [/mm] 0$, gebe man eine Diskretisierung AY = F mit
$A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IR), [/mm] Y, F [mm] \in \IR^n$ [/mm] an, die eine Zerlegung des
Intervalls [mm] $\left(\alpha,\beta\right)$ [/mm] mit [m]\alpha = x_0 < x_1 <...< x_n < x_{n+1} = \beta[/m] mit konstanter Schrittweite benutzt.
Gib Bedingungen an, unter denen das resultierende Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
Im Internet habe ich folgende Definition für Diskretisierung gefunden:
Diskretisierung:
Gewinnung von Näherungslösungen für ein kontinuierliches Problem durch Lösen eines endlich-dimensionalen Ersatzproblems
Allerdings bringt mich diese Definition nicht so recht weiter. Ich weiß bis
jetzt nicht, was ich mit AY = F anfangen soll. Es wäre Klasse, wenn ihr
mich in die richtige Richtung leiten könntet ohne mir gleich die Lösung zu
nennen, so daß ich ein Gefühl für diese Aufgabe bekomme und sie dann selber lösen kann. 
Vielen Dank!
Schöne Grüße
Karl
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Hallo Karl_Pech,
Du hast ja eine Diferentialgleichung Ly=f und Diskretisierung bedeutet nur was in der Aufgabenstellung schon angegeben ist. Du betrachtest die Funktionen an endlich vielen Punkten und setzt als Näherung für den Differentialoperator eine Matrix ein. Im Prinzip stellst Du die Differentialgleichung an endlich vielen Punkten auf und nimmst als Näherung für die Ableitungen Differenzensterne.(siehe auch den thread Mathematisches Modell.
Stichwort zur Lösbarkeit diagonaldominante Matrizen
gruß
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
> Du hast ja eine Differentialgleichung Ly=f und
> Diskretisierung bedeutet nur was in der Aufgabenstellung
> schon angegeben ist. Du betrachtest die Funktionen an
> endlich vielen Punkten und setzt als Näherung für den
> Differentialoperator eine Matrix ein. Im Prinzip stellst Du
> die Differentialgleichung an endlich vielen Punkten auf und
> nimmst als Näherung für die Ableitungen
> Differenzensterne.(siehe auch den thread "Mathematisches
> Modell".
Hmm, also das mit den Differenzensternen ist mir nicht klar. Wär' Klasse
wenn du mir das nochmal erklären könntest. Was ist das eigentlich?
Wie wird das definiert? Ich habe durch Google bis jetzt nur folgendes
rausgekriegt:
"Gemäß der Definition der Ableitung wird im Eindimensionalen der kontinuierliche Differentialoperator durch den Differenzenoperator approximiert, im Mehrdimensionalen lassen sich entsprechend
Differentialoperatoren durch Differenzensterne ersetzen."
Nur leider haben wir in der Schule und auch in den ersten beiden Semestern den mehrdimensionalen Fall nicht wirklich betrachtet (Jedenfalls nicht in den Übungen oder der Klausur, ob es in der Vorlesung drankam,
da kann ich mich jetzt nicht dran erinnern, aber ich meine nicht.).
Und was meinst du jetzt mit "Matrix als Näherung für Differentialoperator"?
Gibt es da eventuell einen direkten Zusammenhang mit der Jacobi-Matrix,
die unser Prof. in der ersten Vorlesungsstunde nur ganz kurz erwähnt hat?
Vielen Dank!
Schöne Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Mit Differenzenstern(was auch Differenzenoperator genannt werden könnte) meinte ich sowas. Setze
[mm]u''(x)=\frac{u(x+h)-2u(x)+u(x-h)}{h^2}[/mm]
[mm]u'(x)=\frac{u(x+h)-u(x-h)}{2h}[/mm]
Wenn du ein äquidistantes(gleichabständiges) Gitter mit Schrittweite h hast kannst Du diese Ausdrücke in die DGL einsetzen und für x h...(n-1)h eingesetzt ergibt n-1 Gleichungen + Randbedingungen n+1 Gleichungen. Sprich ein Gleichungssystem Au=f.
gruß
mathemaduenn
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Hallo Zusammen,
> Aufgabe:
>
> Zur Lösung der Differentialgleichung [mm]c_1y''(x) + c_2y'(x) + c_3y(x) = f(x)[/mm]
>
> für [mm]x \in \left(\alpha,\beta\right)[/mm] mit [mm]y(\alpha) = a[/mm],
> [mm]y(\beta) = b[/mm] mit
> [mm]c_1,c_2,c_3 \in \IR,c_1 \ne 0[/mm], gebe man eine
> Diskretisierung AY = F mit
> [mm]A \in M(n \times n, \IR), Y, F \in \IR^n[/mm] an, die eine
> Zerlegung des
> Intervalls [mm]\left(\alpha,\beta\right)[/mm] mit [m]\alpha = x_0 < x_1 <...< x_n < x_{n+1} = \beta[/m]
> mit konstanter Schrittweite benutzt.
> Gib Bedingungen an, unter denen das resultierende
> Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
Zunächst einmal müssen wir uns nochmal die (geometrische) Bedeutung der Definition des Differentialoperators in Erinnerung rufen.
Der Einfachheit halber betrachten wir dazu die Ursprungsgerade [mm] $g\left(x\right) [/mm] := x$. Die Steigung dieser Gerade ist ja gerade [mm] $g'\left(x\right)$.
[/mm]
Jetzt betrachten wir das Intervall [mm] $\left[x_0,x_{n+1}\right]$. [/mm] Wir zerlegen dieses Intervall in $n+1$ Strecken der Länge $h$. Jetzt betrachten wir zwei benachbarte Punkte [mm] $x_i$ [/mm] und [mm] $x_{i+1}$ [/mm] dieser Zerlegung. Die Steigung von $g$ wäre dann gemäß dem Steigungsdreieck:
[mm] $m_g [/mm] = [mm] \frac{g\left(x_{i+1}\right)-g\left(x_i\right)}{h}$
[/mm]
Für $h [mm] \to [/mm] 0$ wäre dies [mm] $g'\left(x_i\right)$, [/mm] vorrausgesetzt wir verschieben die Gegenkathete des zugehörigen Steigungsdreiecks in Richtung [mm] $x_i$.
[/mm]
Und damit haben wir nun eine etwas andere Definition der Ableitung, die wir für die Diskretisierung unseres Problems verwenden können; Wir definieren:
[mm] $y'\left(x_i\right) [/mm] := [mm] \lim_{h \to 0}{\frac{y\left(x_{i+1}\right)-y\left(x_i\right)}{h}}$
[/mm]
Dann gilt:
[mm]y''\left(x_i\right) = \lim_{h \to 0}{\frac{
\frac{y\left(x_{i+2}\right)-y\left(x_{i+1}\right)}{h}-
\frac{y\left(x_{i+1}\right)-y\left(x_i\right)}{h}
}{h}} = \lim_{h \to 0}{\frac{y\left(x_{i+2}\right)-2y\left(x_{i+1}\right)+y\left(x_i\right)}{h^2}}[/mm]
Für die Gleichung aus der Aufgabe erhalten wir damit:
[mm]c_1\frac{y\left(x_{i+2}\right)-2y\left(x_{i+1}\right)+y\left(x_i\right)}{h^2}+c_2\frac{y\left(x_{i+1}\right)-y\left(x_i\right)}{h}+c_3y\left(x_i\right)=f\left(x_i\right)[/mm]
Und damit ist im Grunde auch schon das Gleichungssystem festgelegt.
Einsetzen von [mm] $x_0,\dotsc,x_{n+1}$ [/mm] ergibt:
[mm]\begin{array}{l}c_1\dfrac{y\left(x_2\right)-2y\left(x_1\right)+a}{h^2}+c_2\dfrac{y\left(x_1\right)-a}{h}+c_3a=f\left(x_0\right)\\
\vdots\\
c_1\dfrac{y\left(x_{n+3}\right)-2y\left(x_{n+2}\right)+b}{h^2}+c_2\dfrac{y\left(x_{n+2}\right)-b}{h}+c_3b=f\left(x_{n+1}\right)\end{array}[/mm]
Jetzt schreiben wir das Ganze nochmal übersichtlicher:
[mm]\begin{array}{l}c_1\dfrac{y_2-2y_1+a}{h^2}+c_2\dfrac{y_1-a}{h}+c_3a=f_0\\
\vdots\\
c_1\dfrac{y_{i+2}-2y_{i+1}+y_i}{h^2}+c_2\dfrac{y_{i+1}-y_i}{h}+c_3y_i=f_i\\
\vdots\\
c_1\dfrac{y_{n+3}-2y_{n+2}+b}{h^2}+c_2\dfrac{y_{n+2}-b}{h}+c_3b=f_{n+1}\end{array}[/mm]
Wir können das ganze System durch Äquivalenzumformungen nochmal anders darstellen:
[mm]\begin{array}{ll}{} & c_1\dfrac{y_{i+2}-2y_{i+1}+y_i}{h^2}+c_2\dfrac{y_{i+1}-y_i}{h}+c_3y_i=f_i\\
\gdw & c_1\dfrac{y_{i+2}}{h^2}-2c_1\dfrac{y_{i+1}}{h^2}+c_1\dfrac{y_i}{h^2}+c_2\dfrac{y_{i+1}}{h}-c_2\dfrac{y_i}{h}+c_3y_i = f_i\\
\gdw & \dfrac{c_1}{h^2}y_{i+2}+\left(\dfrac{c_2}{h}-\dfrac{2c_1}{h^2}\right)y_{i+1}+\left(\dfrac{c_1}{h^2}-\dfrac{c_2}{h}+c_3\right)y_i = f_i\\
\gdw & \left(\dfrac{c_1}{h^2}-\dfrac{c_2}{h}+c_3\right)y_i+\left(\dfrac{c_2}{h}-\dfrac{2c_1}{h^2}\right)y_{i+1}+\dfrac{c_1}{h^2}y_{i+2}=f_i\end{array}[/mm]
Hmm, und hier komme ich nun nicht so ganz weiter... . Die f's bilden den F-Vektor, die Koeffizienten vor den y's bilden wohl das A. Aber wie bilde ich den Y-Fektor? Das Problem ist, daß ich in jeder Zeile meines Gleichungssystems verschiedene y stehen habe, oder?
Grüße
Karl
@Danke nochmal mathemaduenn; nach einigem Rumprobieren scheine ich dieses Differentialverfahren nun zumindest anwenden zu können.
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Hallo Karl,
nur kurz(mangels Zeit)
die Approximation der 2. Ableitung stimmt nicht siehe meine andere Antwort.
>
> Hmm, und hier komme ich nun nicht so ganz weiter... .
> Die f's bilden den F-Vektor, die Koeffizienten
> vor den y's bilden wohl das A. Aber wie bilde ich den
> Y-Fektor? Das Problem ist, daß ich in jeder Zeile meines
> Gleichungssystems verschiedene y stehen habe, oder?
Für alle [mm] Y_i [/mm] die in der entsprechenden Zeile nicht vorkommen steht in A eine null.
[mm] y_1=1
[/mm]
[mm] y_2=4
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \vektor{y_1 \\ y_2}= \vektor{1 \\ 4}
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo mathemaduenn,
> Hallo Karl,
> nur kurz(mangels Zeit)
> die Approximation der 2. Ableitung stimmt nicht siehe
> meine andere Antwort.
Stimmt schon. Der Fehler muß da sein, da Du ja bei meinem [mm] $x^3\texttt{-Beispiel}$ [/mm] viel bessere Werte raushattest als ich. Irgendetwas "verfälscht" die Indizierung bei der Näherung für das zweite Differential [mm] $y''\left(x_i\right)$.
[/mm]
> > hier komme ich nun nicht so ganz weiter... .
> > Die f's bilden den F-Vektor, die Koeffizienten
> > vor den y's bilden wohl das A. Aber wie bilde ich den
> > Y-Fektor? Das Problem ist, daß ich in jeder Zeile meines
> > Gleichungssystems verschiedene y stehen habe, oder?
> Für alle [mm]Y_i[/mm] die in der entsprechenden Zeile nicht
> vorkommen steht in A eine null.
Stimmt, und in jeder Zeile von [mm] $A\!$ [/mm] stehen ja auch genau 3 Koeffizienten von den 3 [mm] $y\texttt{'s}$ [/mm] aus dem Gleichungssystem. Jetzt bemerke ich auch, daß sich die Indizes der [mm] $y\texttt{'s}$ [/mm] in jeder Zeile um 1 verschieben müssen, oder? Daher gab man diesem speziellen [mm] $A\!$ [/mm] die Bezeichnung Tridiagonalmatrix (3 Unbekannte in jeder Zeile jew. um 1 weiterverschoben [mm] $\to$ [/mm] 3 Unbekannte in jeder Zeile auf der Diagonalen).
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl,
> [mm]y''\left(x_i\right) = \lim_{h \to 0}{\frac{
\frac{y\left(x_{i+2}\right)-y\left(x_{i+1}\right)}{h}-
\frac{y\left(x_{i+1}\right)-y\left(x_i\right)}{h}
}{h}} = \lim_{h \to 0}{\frac{y\left(x_{i+2}\right)-2y\left(x_{i+1}\right)+y\left(x_i\right)}{h^2}}[/mm]
>
Also das ist jetzt eine gute Näherung für [mm] y''(x_{i+1}) [/mm] .Wenn man h gegen Null gehen lässt dann nat. auch für [mm] y''(x_i) [/mm] wenn y'' stetig ist da ja dann [mm] x_i \approx x_{i+1} [/mm] Deswegen sind so limes Geschichten eher schlecht besser sind Fehlerabschätzungen:
[mm] \bruch{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2} [/mm]
jetzt Taylorentwicklung an der Stelle x einsetzen.
[mm] \bruch{(y(x)+y'(x)*h+\bruch{y''(x)*h^2}{2}+\bruch{y'''(x)*h^3}{6}+R_4(x+h))-2y(x)+(y(x)-y'(x)*h+\bruch{y''(x)*h^2}{2}-\bruch{y'''(x)*h^3}{6}+R_4(x-h))}{h^2}
[/mm]
=
[mm] \bruch{\bruch{y''(x)*h^2}{2}+R_4(x+h)+\bruch{y''(x)*h^2}{2}+R_4(x-h))}{h^2}
[/mm]
Somit gilt für
[mm] \bruch{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2} -y''(x)=R_4(x+h)+R_4(x-h)
[/mm]
Wenn man die Restglieddarstellung von Lagrange benutzt sieht man das daraus folgt.
[mm] |\bruch{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2} -y''(x)|\le C*h^2
[/mm]
So Fehler abgeschätzt ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
viele Grüße
mathemaduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Do 20.10.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo mathemaduenn,
Danke nochmal! Mein Fehler lag also ganz am Anfang. Ich habe die Gegenkathete zu [mm] $x_i$ [/mm] verschoben, aber genauso gut hätte ich [mm] $x_i$ [/mm] zu [mm] $x_{i+1}$ [/mm] verschieben können, indem ich [mm] $h\!$ [/mm] immer kleiner wählen würde. Das Ergebnis dieser beiden Grenzwertprozesse ist gleich, aber die Prozesse selbst sind es nicht. Deine Definition wäre in der Tat besser gewesen, weil sie den "besseren" Grenzwertprozess benutzt.
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Warum "Dein" Differenzenstern schlechter ist?
[mm] \bruch{y(x+2h)-2y(x+h)+y(x)}{h^2}
[/mm]
jetzt Taylorentwicklung an der Stelle x einsetzen.
[mm] \bruch{(y(x)+y'(x)*2h+\bruch{y''(x)*4*h^2}{2}+\bruch{y'''(x)*8*h^3}{6}+R_4(x+h))-2*(y(x)+y'(x)*h+\bruch{y''(x)*h^2}{2}+\bruch{y'''(x)*h^3}{6}+R_4(x-h))+y(x)}{h^2}
[/mm]
Jetzt sieht man das hier auch viel wegfällt. Zumindest y und y' und es bleibt auch ein y''(x) übrig aber die Therme mit y'''(x) fallen nicht weg. Also bleibt übrig:
[mm] |\bruch{y(x+2h)-2y(x+h)+y(x)}{h^2}-y''(x)|
Jetzt sieht man das konvergiert auch aber "nur" Konvergenz erster Ordnung bezgl. h.
viele Grüße
mathemaduenn
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