Errechnen des Dihedralwinkels < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Fr 20.11.2009 | | Autor: | michbex |
| Aufgabe | Ich suche den Dihedralwinkel zwischen zwei Flächen ABD und BCD eines unregelmässigen Tetraeders
Gegeben sind folgende Punkte im Kartesischen Koordinatensystem:
A -110;-90;90
B 110;-110;110
C 90;-90;-110
D -110;9.9;90
wobei, BCD die Grundfläche darstellt.
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
onlinemathe.de
www.emath.de
Wie formuliere ich den korrekten Lösungsweg?
Mir liegt bereits folgende Formel zur Errechnung des Dihedralwinkels vor:
cos alpha = |v1 * v2| / |v1|*|v2|
Allerdings kann ich mit dieser allgemeinen Form nix anfangen...
Mir fehlts da an Erklärung und Beispielen, anhand derer ich den Lösungsweg eindeutig nachvollziehen könnte.
zum errechnen einer Ebene (brauch ich die?) hab ich ausserdam folgendes gefunden:
ax1+bx2+cx3+d=0
ich vermute allderdings stark dass das ne ebene mit 4 punkten im Raum darstellt...absolut keinen plan wie ich daraus ne Formel generier die für 3 Punkte funktioniert.
Ohne deren Relevanz für eine weitere Berechnung abschätzen zu können,
habe ich folgende Werte ermittelt für:
a) die Strecken zwischen den Punkten
CB 221.81
CD 299,99
DB 251,34
AC 282.84
AB 221.81
AD 99.9
sowie
b) die Kreuzprodukte der Vektoren
CD -7011; 4000; -9009 bzw.
DC 7011; -4000; 9009
DB -8811; 22000; 11011 bzw.
BD 8811; -22000; -11011
BC 4000; 22000; -11011 bzw.
CB -4000; -22000; 11011
AC -18000; -2200; 2200 bzw.
CA 18000; 2200; -2200
AB 0; 22000; 22000 bzw.
BA 0; -22000; -2200
AD -7209; 0; 8811 bzw.
DA 7209; 0; 8811
(hier war mir nicht klar ob die Verkehrung der Punkte eine Auswirkung auf das Ergebnis hat. Feststellen konnte ich dass sich dadurch die Vorzeichen der Vektoren, und somit deren Position im Raum verändert. Welche Kombination die richtige ist, kann ich mangels Basiswissen nicht ermessen.)
und
c) die Skalar- oder Punktprodukte der Vektoren
CB 7700
CD -20691
DB -3289
AC -11700
AB 7700
AD 19309
kann mir da jemand behilflich sein? wär super!
merci
Michael
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> Ich suche den Dihedralwinkel zwischen zwei Flächen ABD und
> BCD eines unregelmässigen Tetraeders
>
>
> Gegeben sind folgende Punkte im Kartesischen
> Koordinatensystem:
>
> A -110;-90;90
> B 110;-110;110
> C 90;-90;-110
> D -110;9.9;90
>
> wobei, BCD die Grundfläche darstellt.
> Wie formuliere ich den korrekten Lösungsweg?
>
> Mir liegt bereits folgende Formel zur Errechnung des
> Dihedralwinkels vor:
>
> cos alpha = |v1 * v2| / |v1|*|v2|
>
> Allerdings kann ich mit dieser allgemeinen Form nix
> anfangen...
> Mir fehlts da an Erklärung und Beispielen, anhand derer
> ich den Lösungsweg eindeutig nachvollziehen könnte.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dieser Dihedralwinkel (nie gehört!) ist ja wohl der Schnittwinkel der beiden Ebenen.
Man errechnet ihn mithilfe des Skalarproduktes der beiden Normalenvektoren der Ebenen.
In Deiner Formel oben sind [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] die beiden Normalenvektoren.
> zum errechnen einer Ebene (brauch ich die?) hab ich
> ausserdam folgendes gefunden:
>
> ax1+bx2+cx3+d=0
>
> ich vermute allderdings stark dass das ne ebene mit 4
> punkten im Raum darstellt...absolut keinen plan wie ich
> daraus ne Formel generier die für 3 Punkte funktioniert.
Das ist die Koordinatendarstellung einer Ebene im [mm] \IR^3.
[/mm]
Alle Punkte (x,y,z), die die Gleichung lösen, sind Punkte der Ebene.
An der Gleichung kann man auch den Normalenvektor ablesen: [mm] \vektor{a\\b\\c}
[/mm]
Kleiner Schönheitsfehler: die Gleichungen der beiden Ebenen liegen Dir noch gar nicht vor.
Ich sage Dir jetzt, wie Du zu den beiden Normalenvektoren kommst:
Ebene ABD:
Berechne die beiden Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD}
[/mm]
Es ist der Normalenvektor [mm] v_1=\overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AD}
[/mm]
Ebene BCD:
Berechne die beiden Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BD}
[/mm]
Es ist der Normalenvektor [mm] v_2=\overrightarrow{BC}x\overrightarrow{BD}
[/mm]
Nun kannst Du cos alpha [mm] =\bruch{ |v_1 * v_2| }{ |v_1|*|v_2|} [/mm] verwenden.
Oben ist der Betrag des Skalarproduktes, unten werden die Vektorlängen multipliziert.
Gruß v. Angela
> Ohne deren Relevanz für eine weitere Berechnung
> abschätzen zu können,
> habe ich folgende Werte ermittelt für:
>
> a) die Strecken zwischen den Punkten
>
> CB 221.81
> CD 299,99
> DB 251,34
> AC 282.84
> AB 221.81
> AD 99.9
>
> sowie
>
> b) die Kreuzprodukte der Vektoren
>
> CD -7011; 4000; -9009 bzw.
> DC 7011; -4000; 9009
>
> DB -8811; 22000; 11011 bzw.
> BD 8811; -22000; -11011
>
> BC 4000; 22000; -11011 bzw.
> CB -4000; -22000; 11011
>
> AC -18000; -2200; 2200 bzw.
> CA 18000; 2200; -2200
>
> AB 0; 22000; 22000 bzw.
> BA 0; -22000; -2200
>
> AD -7209; 0; 8811 bzw.
> DA 7209; 0; 8811
>
> (hier war mir nicht klar ob die Verkehrung der Punkte eine
> Auswirkung auf das Ergebnis hat. Feststellen konnte ich
> dass sich dadurch die Vorzeichen der Vektoren, und somit
> deren Position im Raum verändert. Welche Kombination die
> richtige ist, kann ich mangels Basiswissen nicht ermessen.)
>
> und
>
> c) die Skalar- oder Punktprodukte der Vektoren
>
> CB 7700
> CD -20691
> DB -3289
> AC -11700
> AB 7700
> AD 19309
>
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>
>
>
> kann mir da jemand behilflich sein? wär super!
> merci
>
> Michael
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