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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | | Betrachten Sie die Gleichung [mm] x^3 [/mm] - 3x + 1 = 0. Es sei die reelle Zahl [mm] \delta [/mm] eine Lösung dieser Gleichung. Beweisen Sie, dass [mm] \delta^2 [/mm] - 2 und [mm] (\delta^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - 2 ebenfalls Lösungen der gegebenen Gleichung sind. Zeigen Sie ausserdem, dass [mm] \delta \not= \delta^2 [/mm] - 2 und dass [mm] ((\delta^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - 2 = [mm] \delta. [/mm] |
Hallo Liebe Mathe-Studenten,
da ich ganz am Anfang meines Studiums bin, bin ich jetzt mit den ersten Aufgaben extrem überfordert.
Sehe ich das richtig, das für den ersten Teil der Aufgabe nur [mm] \delta^2 [/mm] - 2 und [mm] (\delta^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - 2 in die Gleichung für x eingesetzt werden muss und da gar nichts berechnet wird?
Für den zweiten Teil, war meine Idee: den das [mm] \delta [/mm] in die Gleichung einsetzten und auch den zweiten Ausdruck, dann anschliessend diese Gleichung gleichstellen und schliesslich prüfen ob diese ausdrücke dasselbe gehen....
Bin ich auf dem richtigen Weg?
p.s. werde noch mehr Fragen auf das Forum posten, da ich momentan sehr verunsichert bin :-(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Walde |
Hi Nadine,
sagt die das Stichwort "Polynomdivision" etwas? Müsste man googlen oder sogar hier finden können.
Kurz:
Ein Polynom lässt sich,falls es Nullstellen hat in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.
Du kannst dann, falls [mm] \delta [/mm] eine Nullstelle des Polynoms P(x) ist, diese Nullstelle "ausklammern" und erhältst etwas in der Gestalt [mm] P(x)=(x-\delta)*Q(x) [/mm], wobei Q(x) auch ein Polynom ist und einen Grad niedriger als P. Man erhält Q(x) indem man [mm] P(x):(x-\delta) [/mm] rechnet und ein einfaches Verfahren dazu ist eben die Polynomdivision.
Z.B. [mm] x^2-1=0 [/mm] x=1 ist Nullstelle, dann kann man schreiben [mm] x^2-1=(x-1)*Q(x) [/mm] und wenn man Q ausrechnet (oder hier die 3.binom. Formel kann) erhält man Q(x)=(x+1) und insgesamt [mm] x^2-1=(x+1)(x-1)
[/mm]
Was nützt das? Wenn du das Polynom als Produkt darstellen kannst, kanns tdu die Nullstellen quasi ablesen, bzw leichter ausrechnen.
Wenn du schon weisst, dass [mm] \delta [/mm] eine NST ist und damit Q(x) ausrechnen kannst, ist Q einen Grad niedriger als P, also von Grad 2. Und Q(x)=0 kannst du mit p,q Formel lösen.
Ich hoffe das hilft weiter.
Lg Walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Hallo Walde,
vielen dank für die prompte Hilfe!
Trotzdem noch eine kleine Frage:
Klar kenne ich die Polynomdivision. Jedoch was hat das mit dieser Aufgabe zu tun? Wäre jetzt nie darauf gekommen.
Also stimmt meine Überlegung zur Aufgabe nicht?
Lieber Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Fr 26.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was meinst du damit, die 2 Ausdruecke in die Gleichung einfach einsetzen? woher weisst du dann, dass das =0 gilt wenn es fuer [mm] \delta [/mm] gilt?
Wenn du statt der Ausdruecke z. Bsp [mm] \delta/3 [/mm] einsetzt kommt ja nicht 0 raus.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Fr 26.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo
> Was meinst du damit, die 2 Ausdruecke in die Gleichung
> einfach einsetzen? woher weisst du dann, dass das =0 gilt
> wenn es fuer [mm]\delta[/mm] gilt?
> Wenn du statt der Ausdruecke z. Bsp [mm]\delta/3[/mm] einsetzt
> kommt ja nicht 0 raus.
> gruss leduart
>
Hallo,
es geht zwar auch um Polynomdivision, aber das ist nur das Werkzeug.
Wenn die Gleichung
[mm] x^3+bx^2+cx+d=0 [/mm] drei Lösungen [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] hat, dann lässt sich
[mm] x^3+bx^2+cx+d [/mm] in der Form [mm] (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) [/mm] darstellen (Stichwort: Linearfaktorzerlegung).
Das [mm] x_1 [/mm] ist in diesem Fall dein [mm] \delta, [/mm] und [mm] x_2 [/mm] bzw. [mm] x_3 [/mm] sind die anderen beiden Lösungen (ich will jetzt nicht noch mal im Thread zurückblättern, das eine war wohl [mm] \delta^2- [/mm] 2 oder so ähnlich ...).
Setze einfach mal die 3 Lösungen für [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] in das Produkt [mm] (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) [/mm] ein und sieh nach, wie groß beim Ausmultiplizieren das quadratiscche Glied, das lineare Glied und das Absolutglied werden.
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Fr 26.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Betrachten Sie die Gleichung [mm]x^3[/mm] - 3x + 1 = 0. Es sei die
> reelle Zahl [mm]\delta[/mm] eine Lösung dieser Gleichung. Beweisen
> Sie, dass [mm]\delta^2[/mm] - 2 und [mm](\delta^2[/mm] - [mm]2)^2[/mm] - 2 ebenfalls
> Lösungen der gegebenen Gleichung sind. Zeigen Sie
> ausserdem, dass [mm]\delta \not= \delta^2[/mm] - 2 und dass
> [mm]((\delta^2[/mm] - [mm]2)^2[/mm] - [mm]2)^2[/mm] - 2 = [mm]\delta.[/mm]
>
> Hallo Liebe Mathe-Studenten,
>
> da ich ganz am Anfang meines Studiums bin, bin ich jetzt
> mit den ersten Aufgaben extrem überfordert.
>
> Sehe ich das richtig, das für den ersten Teil der Aufgabe
> nur [mm]\delta^2[/mm] - 2 und [mm](\delta^2[/mm] - [mm]2)^2[/mm] - 2 in die Gleichung
> für x eingesetzt werden muss und da gar nichts berechnet
> wird?
Nun, du musst natuerlich schon benutzen, dass [mm] $\delta^3 [/mm] - 3 [mm] \delta [/mm] + 1 = 0$ ist, also dass [mm] $\delta^3 [/mm] = 3 [mm] \delta [/mm] - 1$ ist. Wenn du das benutzt und [mm] $\delta^2 [/mm] - 2$ in den Ausdruck [mm] $x^3 [/mm] - 3 x + 1$ einsetzt, wirst du 0 herausbekommen.
Das ist uebrigens im Endeffekt Polynomdivision: du setzt [mm] $x^2 [/mm] - 2$ in [mm] $x^3 [/mm] - 3 x + 1$ ein und machst Polynomdivision mit [mm] $x^3 [/mm] - 3 x + 1$, und wirst sehen, dass es ohne Rest aufgeht.
Uebrigens: dass [mm] $(\delta^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - 2$ ebenfalls eine Nullstelle ist folgt bereits aus dem vorherigen, das musst du nicht auch noch einsetzen.
> Für den zweiten Teil, war meine Idee: den das [mm]\delta[/mm] in
> die Gleichung einsetzten und auch den zweiten Ausdruck,
> dann anschliessend diese Gleichung gleichstellen und
> schliesslich prüfen ob diese ausdrücke dasselbe gehen....
Das ist schonmal ein guter Anfang. Nur, woher weisst du dann, dass wenn die Ausdruecke in der `Unbestimmten' [mm] $\delta$ [/mm] verschieden sind, sie auch mit dem konkreten [mm] $\delta$ [/mm] eingesetzt noch verschieden sind?
Du kannst ja einfach mal annehmen, dass [mm] $\delta^2 [/mm] - 2$ und [mm] $\delta$ [/mm] nicht verschieden sind. Dann gilt [mm] $\delta^2 [/mm] - 2 = [mm] \delta$, [/mm] also [mm] $\delta^2 [/mm] = [mm] \delta [/mm] + 2$. Versuch doch damit mal den Ausdruck [mm] $\delta^3 [/mm] - 3 [mm] \delta [/mm] + 1$ zu vereinfachen, da muesste ja 0 rauskommen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Sa 27.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | | Zeigen Sie ausserdem, dass [mm] \delta \not= \delta^2 [/mm] - 2 und dass [mm] ((\delta^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - 2 = [mm] \delta [/mm] |
Hallo Felix,
vielen lieben Dank für Deine Hilfe!
Also das [mm] \delta \not= \delta^2 [/mm] - 2 ist habe ich nun begriefen.
Jetzt wollte ich für die zweite Aussage dasselbe machen, also
den ganzen Ausdruck links in die Gleichung [mm] x^3-3x+1 [/mm] = 0 einsetzten und auch das [mm] \delta [/mm] in die Gleichung einsetzen und dann diese zwei Gleichungen gleichsetzen. Dann sollte doch dasselbe rauskommen, oder nicht???
Also so:
[mm] (((\delta^2-2)^2-2)^2 [/mm] - [mm] 2)^3 [/mm] - [mm] 3((\delta^2-2)^2-2)^2 [/mm] - 2) + 1 = [mm] \delta^3 [/mm] - 3 [mm] \delta [/mm] + 1
ist das falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Sa 27.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen Sie ausserdem, dass [mm]\delta \not= \delta^2[/mm] - 2 und
> dass [mm]((\delta^2[/mm] - [mm]2)^2[/mm] - [mm]2)^2[/mm] - 2 = [mm]\delta[/mm]
>
> Hallo Felix,
>
> vielen lieben Dank für Deine Hilfe!
>
> Also das [mm]\delta \not= \delta^2[/mm] - 2 ist habe ich nun
> begriefen.
Gut.
> Jetzt wollte ich für die zweite Aussage dasselbe machen,
> also
> den ganzen Ausdruck links in die Gleichung [mm]x^3-3x+1[/mm] = 0
> einsetzten
Dann kommt 0 raus, wie du im Prinzip schon gezeigt hast.
> und auch das [mm]\delta[/mm] in die Gleichung einsetzen
Da kommt ebenfalls 0 raus.
> und dann diese zwei Gleichungen gleichsetzen. Dann sollte
> doch dasselbe rauskommen, oder nicht???
Ja, es kommt das selbe heraus, naemlich 0. Aber das hilft dir erstmal nicht weiter.
> Also so:
>
> [mm](((\delta^2-2)^2-2)^2[/mm] - [mm]2)^3[/mm] - [mm]3((\delta^2-2)^2-2)^2[/mm] - 2) +
> 1 = [mm]\delta^3[/mm] - 3 [mm]\delta[/mm] + 1
>
>
> ist das falsch?
Nein, aber es sagt dir nichts darueber aus ob [mm] $((\delta^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - 2$ nun gleich [mm] $\delta$ [/mm] ist oder nicht.
Versuch doch mal wieder [mm] $\delta^3 [/mm] = 3 [mm] \delta [/mm] - 1$ zu benutzen, um den Ausdruck [mm] $((\delta^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - 2$ zu vereinfachen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 So 28.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
hallo felix,
also wenn ich [mm] ((\delta^2-2)^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - 2 mit [mm] \delta^3 [/mm] = 3 [mm] \delta [/mm] - 1 vereinfache, ergibt bei mir das -4 [mm] \delta^2 [/mm] + [mm] \delta [/mm] + 2
somit ist für mich ( [mm] (\delta^2-2)^2 [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] - 2 [mm] \not= \delta
[/mm]
korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Mo 29.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> also wenn ich [mm]((\delta^2-2)^2[/mm] - [mm]2)^2[/mm] - 2 mit [mm]\delta^3[/mm] = 3
> [mm]\delta[/mm] - 1 vereinfache, ergibt bei mir das -4 [mm]\delta^2[/mm] +
> [mm]\delta[/mm] + 2
Dann hast du dich verrechnet.
Und selbst wenn du das nicht haettest:
> somit ist für mich ( [mm](\delta^2-2)^2[/mm] - [mm]2)^2[/mm] - 2 [mm]\not= \delta[/mm]
Das muesstest du dann immer noch zeigen.
LG Felix
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