Intervalle bei Faltung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 So 12.06.2011 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Faltung:
y(t)=h(t) * [mm] s(t)=(2*rect_1(t-1.5)) [/mm] * [mm] (1.5*rect_{1.5}(t-1.25)) [/mm] |
Hio,
Im groben weiß ich, wie ich diese Aufgabe lösen soll:
Das Faltungsintegral ist [mm] y(t)=\integral_{-\infty}^{+\infty}{x(u)*h(t-u) du}. [/mm] Nun muss ich nur noch die beiden Signale h(t) und s(t) geeignet mit Sprungfunktionen darstellen und das Integral dann entsprechend in Teilabschnitte untergliedern, die dann einzeln gelöst werden müssen.
Hierbei habe ich nun aber das Problem:
In der Uni haben wir das Einteilen in die Intervalle und das Darstellen von h und s immer "irgendwie" gemacht, dass es passte. Ich tue mich persönlich damit aber ziemlich schwer, da ich nicht direkt sehe, wie die Funktionen verlaufen müssen, damit alles passt. Irgendwie habe ich aber das Gefühl, dass das doch ziemlich schematisch abläuft und daher die konkrete Frage: Gibt es irgendwie ein gutes/einfaches Schema, um die Intervalle zu ermitteln und die Funktionen entsprechend darzustellen?
Gruß
Pille
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Pille456,
auch an der Uni hat ihr die Intervalle nich einfach so mal ausgesucht, sondern garantiert so, dass die Aufgabe dadurch lösbar wurde. Ich versuche hier mal so eine Art von Kochrezept aufzustellen, das nichts weiter ist als eine geometrische Interpretation des Faltungsintegrals. Bei der Schreibweise zur Kurzbeschreibung von solchen Rechteckfunktionen gibt es mehrere Varianten. Ich nehme mal an, dass der tiefgestellte Index die Gesamtdauer des Rechtecksignals beschreibt.
Dann gehe mal folgendermaßen vor:
1) Male Dir die beiden zu faltenden Funktionen in zwei Koordinatensysteme, die untereinander auf einem Blatt Papier gezeichnet werden und deren Ursprung auch auf gleicher Höhe liegt. Ersetze hierbei in den Funktionen die Variable t durch u.
Dann ist die erste Funktion eine Rechteckfunktion mit dem y-Wert von 2, die sich über einen Zeitraum von u= 1 bis 2 erstreckt.
Die zweite Funktion ist eine Rechteckfunktion mit einem y-Wert von 1,5, die sich über einen Zeitraum von u = 0,5 bis 2 erstreckt.
2) Spiegele diese zweite Funktion in einem weiteren Koordinatensystem an der y-Achse (dies entspricht dem Term [mm] h(-u) [/mm] im Faltungsintegral). Dies liefert Dir eine Rechtfunktion bei negativen u-Werten, die gespiegelte Rechteckfunktion erstreckt sich jetzt über einen Zeitraum von u = - 2 bis -0,5.
Diese gespiegelte Funktion und die zuerst gemalte Funktion, das sind die beiden Funktionen, mit denen Du jetzt weiterrechnest, dies ist die Ausgangsfunktion für das Faltungsintegral für t = 0. Sich überlappende Flächen in beiden Funktionen tragen zum Faltungsintegral bei. Verschiebst Du nun diese gespiegelte Funktion auf der u-Achse nach rechts, so bekommst Du das Faltungsintegral für positive t-Werte, verschiebst Du die Funktion nach links, dann bekommst Du das Faltungsintegral für negative t-Werte. Da sich für t= 0 schon nichts überlappt, siehst Du sofort, dass das Faltungsintegral für negative t-Werte gleich Null ist. Wie lange musst du nun die zweite Funktion nach rechts schieben, bevor sich beide Funktionen anfangen zu überlappen? Dies passiert (zweite Funktion schieben und weiterschieben und weiterschieben) ab einem t-Wert von 1,5, denn dann liegt die rechte Rechteckkante Deiner gespiegelten Funktion genau unter der linken Rechteckkante Deiner ersten Funktion. Die überlappende Fläche wird größer und größer bis zu einem t-Wert von 2,5, dan überlappt die gespiegelte Funktion voll die erste. Danach ist das Faltungsintegral konstant, bis die linke Rechteckkante der gespiegelten Funktion sich mit der linken Kante der ersten Funktion trifft, danach nimmt das Faltungsintegral wieder ab. Überlege selbst einmal, ab welchem t-Wert das gilt.
Viel Spaß beim Schieben,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
Danke für Deine Antwort, ich glaube ich habe jetzt eine Idee, wie ich da rangehen kann. Ist im Kern auch recht anschaulich! Nur eine Frage hätte ich da noch:
Vorab, Deine Vermutung mit dem Index ist korrekt. Der Index beschreibt sozusagen die "Breite" des Rechtecks.
Wieso in 1) folgendes:
> Dann ist die erste Funktion eine Rechteckfunktion mit dem y-Wert von 2, die sich über einen Zeitraum von u= 1 bis 2 erstreckt.
> Die zweite Funktion ist eine Rechteckfunktion mit einem y-Wert von 1,5, die sich über einen Zeitraum von u = 0,5 bis 2 erstreckt.
Es gilt ja z.B. [mm] s(t)=2*rect_1(t-1.5) [/mm] Müsste die Funktion sich dann nicht über den Zeitraum u=1.5 bis 2.5 erstrecken (t und u natürlich ausgetauscht)
Analog dann bei der Funktion h(t) diese über den Zeitraum u=1.25 bis 2.75 (da Rechtecksignale 1.5 "Breit" ist) erstrecken?
Oder muss ich bei der Substitution von t nach u noch etwas beachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo pille456,
das kann sein, und es hängt davon ab, wie die rect-Funktion definiert ist. Ich kenne sie als symmetrische Funktion in Bezug auf t, und dann ist [mm] rect_1 (t) [/mm] eine Rechteckfunktion der Höhe 1, die sich von t = -0,5 bis t= 0,5 erstreckt. Der Nullpunkt einer Verschiebung bezieht sich in diesem Falle also auf die Mitte der Rechteckfunktion. Wenn ich mir die Werte in Deiner Aufgabe angucke, so vermute ich, dass dies auch bei Deiner rect-Funktion so ist, sonst kommen arg ungerade Grenzen für die Funktion [mm] rect_{1,5} [/mm] raus. Bitte schaue doch in Deinen Unterlagen nach, wie diese rect-Funktion definiert ist, wie gesagt, ich vermute sehr stark, dass sie als symmetrische Funktion definiert ist, es muss aber nicht so sein. Mit der Substitution hat dies nichts weiter zu tun, es ist eine Frage der Definition.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Pille456 |
Hio,
Du hast natürlich recht, die Definition sieht die Mitte der Funktion vor, hätte ich auch selber drauf kommen können.. Zur Sicherheit nun für mich, dass ich alles verstanden habe, hier mal die komplette Lösung:
Ich gehe nun davon aus, dass ich s(t) spiegele und gedanklich verschiebe. So komme ich erstmal auf die folgenden Intervalle:
Das Rechteck von h(t) beginnt bei u=0.5, das Rechteck von s(t) endet bei u=-1, also muss man 1.5 "Schritte" gehen, damit diese sich beginne zu überlappen:
I1: [mm] -\infty\le [/mm] t<1.5: kein Überlappung, also kein Flächeninhalt y(t)=0
Nun hat meine eine steigende Fläche bis zum Stelle u=2.5:
I2: [mm] 1.5\le [/mm] t<2.5: [mm] y(t)=\integral_{0.5}^{t-1}{1.5*2 du}
[/mm]
Beachte hier die Verschiebung von t: Das Rechteck von h(t) beginnt bei t=0.5, daher muss das Integral auch dort beginnen. Damit nun die Intervallgrenzen zu dem t passen, muss man dann bis t-1 integrieren.
Die übrigen Intervalle etwas kürzer:
I3: [mm] 2.5\le [/mm] t<3: [mm] y(t)=\integral_{t-2}^{t-1}{1.5*2 du}
[/mm]
I4: [mm] 3\le [/mm] t<4: [mm] y(t)=\integral_{t-2}^{2}{1.5*2 du}
[/mm]
I5: [mm] 4\le t<\infty: [/mm] y(t)=0
Mit den Integralgrenzen bin ich mir hier gerade nicht ganz sicher. Vielleicht könnte dazu jemand noch ein paar Worte verlieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo pille456,
Deine Integralgrenzen sind voll in Ordnung. Du kannst es am einfachsten nachvollziehen, indem Du an den Intervallgrenzen den jeweiligen Wert aus beiden Intervallen ausrechnest. Der muss übereinstimmen und dies macht er auch hier. Die Funktion steigt also linear auf den Wert 3 an, bleibt dort für eine Zeitspanne von t = 0,5 und fällt dann wieder auf die Null ab.
Viele Grüße,
Infinit
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