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| Aufgabe | Sei (R,+,*) ein Ring mit dem neutralen Elementen 0 (für +) und 1 (für *). Weiterhin bezeichne -a das zu a bezüglich + inverse Element.
Zeigen Sie, dass dann immer [mm] (-1)\*a [/mm] = -a gilt. |
Hallo liebe community,
ich habe mich für ein Informatikstudium entschieden und halte es deshalb für sinnvoll mich in einem entsprechendem Forum anzumelden, um bei Schwierigkeiten Hilfe zu erhalten, bzw. ggf. selbst zu helfen.
Da dies mein erster Beitrag hier ist, bitte ich um nachsehen, falls ich etwas falsch gemacht habe [ schon beim eintippen des Diskussionsthemas war ich unentschlossen was die Formulierung angeht und ob das so richtig ist x) ]
Nun zu meiner Frage:
Ich habe mir schon einige Zeit Gedanken zu dieser Aufgabe gemacht und habe einige Möglichkeiten durchprobiert, um zur Lösung zu gelangen.
In unserem Tutorium wurde uns ein Beispiel gezeigt, um uns auf einen Ansatz zu bringen; dieses war:
Zeige: [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] a*0=0 gilt.
=> a*0=a*0+a*0+(-a*0)=(0+0)*a + (-a*0)=0*a+(-a*0)=0
So, also hab ich auch probiert irgendwas zu addieren oder mit Nullen etwas zu machen aber hauptsächlich war komplette Verwirrung in meinem Kopf.
Und dann bin ich auf eine Variante gekommen, die mir noch einigermaßen plausibel erschien:
(-1)*a = -a
(-1)*a = 1*(-1)*a = 1*[(-1)*a] = 1*(-a) = -a
Ich habe zuerst auf beiden Seiten die "1" von links anmultipliziert. Dann habe ich das Assoziativgesetz angewand. Und dann war ich schon fertig, weil ich ja auch die "1" von links ans "-a" ranmultipliziert habe.
Kann man das so machen oder ist das komplett falsch? xD Ich habe wirklich noch kein bisschen das Gefühl dafür was falsch und was richtig sein könnte. Man braucht dafür etwas Zeit und Übung schätze ich...
Vielen Dank schonmal falls mir geantwortet wird :)
MfG Bulkwithmojo
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Mo 15.04.2013 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> Da dies mein erster Beitrag hier ist, bitte ich um
> nachsehen, falls ich etwas falsch gemacht habe [ schon beim
> eintippen des Diskussionsthemas war ich unentschlossen was
> die Formulierung angeht und ob das so richtig ist x) ]
>
Soweit ist das alles in Ordnung.
> ....
> In unserem Tutorium wurde uns ein Beispiel gezeigt, um uns
> auf einen Ansatz zu bringen; dieses war:
>
> Zeige: [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IR[/mm] a*0=0 gilt.
>
> => a*0=a*0+a*0+(-a*0)=(0+0)*a + (-a*0)=0*a+(-a*0)=0
>
> So, also hab ich auch probiert irgendwas zu addieren oder
> mit Nullen etwas zu machen aber hauptsächlich war
> komplette Verwirrung in meinem Kopf.
Ein ähnliches Vorgehen führt bei der Aufgabe zum Ziel:
Zeige: [mm]\forall a \in \IR[/mm] gilt $(-1)*a +a = 0$
Dann ist nämlich $(-1)*a$ definitionsgemäß -a.
Benutze als nächstes $a = 1*a$
>
> Und dann bin ich auf eine Variante gekommen, die mir noch
> einigermaßen plausibel erschien:
>
> (-1)*a = -a
>
> (-1)*a = 1*(-1)*a = 1*[(-1)*a] = 1*(-a) = -a
das geht so nicht. Bei dem vorletzten Gleichheitszeichen benutzt Du das, was Du gerade zeigen sollst.
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Danke erstmal für die schnelle Antwort!
>Ein ähnliches Vorgehen führt bei der Aufgabe zum Ziel:
>Zeige: $ [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] $ gilt $ [mm] (-1)\cdot{}a [/mm] +a = 0 $
>Dann ist nämlich $ [mm] (-1)\cdot{}a [/mm] $ definitionsgemäß -a.
>Benutze als nächstes $ a = [mm] 1\cdot{}a [/mm] $
Demnach in etwas so? :
(-1)*a = (-1)*a+a = (-1)*a+1*a = 0 = (-a)+a = -a
Und ist es egal ob da steht: (-1)*a + 1*a oder 1*a + (-1)*a ?
Normalerweise wäre das ja klar, ist es in diesem Fall bzw. in allen anderen ähnlichen Beweisen, wo man umformen muss, auch klar oder muss ich da noch das Kommutativgesetz anwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi und willkommen hier. :)
Nein, da ist etwas schief gelaufen. Das erste und letzte Gleichheitszeichen stimmen z.B. nicht. Es gilt doch nicht $(-1)*a = (-1)*a+a$ im Allgemeinen!
Du willst also zeigen: $(-1)a=-a [mm] \gdw [/mm] (-1)a+a=0$.
Dann kannst du so anfangen:
$(-1)a+a=(-1)*a+1*a$. Jetzt denke mal an das Distributivgesetz (rückwärts)!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:57 Di 16.04.2013 | | Autor: | chrisno |
Du musst darauf achten, dass Du zu wirklich jeder Kleinigkeit angeben kannst, aufgrund welcher Regel Du diese Umformung durchführen darfst.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke erstmal für die schnelle Antwort!
>
> >Ein ähnliches Vorgehen führt bei der Aufgabe zum Ziel:
> >Zeige: [mm]\forall a \in \IR[/mm] gilt [mm](-1)\cdot{}a +a = 0[/mm]
> >Dann
> ist nämlich [mm](-1)\cdot{}a[/mm] definitionsgemäß -a.
ich habe dazu schon was ergänzt: Man braucht ein Eindeutigkeitsargument -
denn eigentlich zeigt man so nur, dass $(-1)*a$ auch EIN additiv linksinverses
Element zu [mm] $a\,$ [/mm] ist. Wenn man die Eindeutigkeit der linksinversen Elemente
irgendwo bewiesen hat, dann reicht das obige. Vermutlich wurde aber erstmal
für $a [mm] \in [/mm] R$ EIN additiv Inverses $-a [mm] \in [/mm] R$ durch die Eigenschaft
$$(-a)+a=a+(-a)=0$$
definiert (zudem gibt es sicher einer Existenzsicherung in der Definition). Dann wurde
vermutlich gezeigt, dass ein solches eindeutig ist. Und wenn dem so ist, so sollte man hier
"eigentlich"
SOWOHL
[mm] $((-1)*a)+a=0\,$
[/mm]
ALS AUCH
[mm] $a+((-1)*a)=0\,$
[/mm]
nachrechnen (wobei das dann ja eh vollkommen analog geht - oder man verweist direkt
auf die Kommutativität der Addition). Denn dann kann man per Definitionem folgern, dass
auch [mm] $(-1)*a\,$ [/mm] ein additiv Inverses zu $a [mm] \in [/mm] R$ ist - und weil dieses eindeutig ist, folgt dann [mm] $-a=(-1)*a\,.$ [/mm]
(@Bulkwithmojo: Mache Dir mal klar, dass [mm] $-a\,$ [/mm] erstmal NUR ein Symbol für ein gewisses Element aus [mm] $R\,$ [/mm] ist,
welches besondere Eigenschaften bzgl. $a [mm] \in [/mm] R$ aufweist. Du könntest dafür auch [mm] $inv(a)\,,$ $a^{\text{inv}}$ [/mm] oder sowas wie [mm] $b_a\,$ [/mm]
schreiben, dann bestünde weniger die Gefahr, "einfach mal wie in der Schule zu rechnen, ohne wirklich
drüber nachzudenken"! In der Schule lernt man ja gewisse Regeln und wendet die danach dann einfach
ständig an. Die Notation [mm] $-\,a$ [/mm] hat natürlich schon einen gewissen Sinn, weil man halt an der Uni
nach und nach "erforscht/begründet", dass vieles, was man da in der Schule "speziell" gemacht hat,
auch "allgemeiner" geht. Aber man muss sich der Begrifflichkeiten bewußt werden, und bis dieser
Prozess eingesetzt hat, finde ich es vielleicht tatsächlich besser, für additiv Inverse in allgemeinen
Ringen [mm] $-\,a$ [/mm] erstmal "anders" zu notieren!)
> >Benutze als nächstes [mm]a = 1\cdot{}a[/mm]
>
> Demnach in etwas so? :
>
> (-1)*a [mm] \red{+\;a}= [/mm] (-1)*a+a = (-1)*a+1*a
Da fehlte ein [mm] $\red{+\;a},$ [/mm] ich habe das ergänzt!
Bis dahin war das okay. Danach wurdest Du betriebsblind: Wie wolltest Du dann [mm] "$=0\,$" [/mm] begründen?
Benutze jetzt sowas wie [mm] $r*a+s*a=(r+s)*a\,$ [/mm] ($r,s [mm] \in [/mm] R$) (Distr.) und bedenke, dass $-1 [mm] \in [/mm] R$ die Notation
für "das" additiv Inverse der $1 [mm] \in [/mm] R$ ist. Und danach das, was in der Vorlesung bewiesen wurde:
[mm] $$0*r=0\;\;\;\;\;\;\forall [/mm] r [mm] \in R\,.$$
[/mm]
Und wie gesagt: Eventuell sollte danach auch
[mm] $a+((-1)*a)=0\,$
[/mm]
bewiesen werden, aber zum einen geht das vollkommen analog, zum anderen haben wir hier auch die
Kommutativitätder Addition, so dass man sich das auch direkt sparen könnte/kann!
P.S. @bulkwithmojo: Ich lege Dir übrigens ans Herz, Dich ein wenig mit Gruppen zu beschäftigen.
So kann man etwa sagen:
Auf einer Menge $G [mm] \not=\emptyset$ [/mm] sei eine Abbildung [mm] $\circ: [/mm] G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G$ definiert. (Beachte, dass hier schon drinsteckt,
dass [mm] $\circ(a,b) \in [/mm] G$ für alle $a,b [mm] \in [/mm] G$ gefordert wird - wobei man auch "die Klammersparnotation" [mm] $\circ(a,b):=\circ((a,b))$ [/mm]
für alle $(a,b) [mm] \in [/mm] G [mm] \times [/mm] G$ beachte!!)
Wir definieren die Notation $a [mm] \circ b:=\circ(a,b)\,.$ [/mm] Dann heißt das Paar [mm] $(G,\circ)$ [/mm] Gruppe, wenn
1. $a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c)=(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c$ für alle $a,b,c [mm] \in G\,.$ [/mm] (Assoziativgesetz!)
2. Es existiert ein $e [mm] \in [/mm] G$ mit $e [mm] \circ [/mm] a=a$ für alle $a [mm] \in G\,.$ ($e\,$ [/mm] heißt LINKSNEUTRAL!)
3. Für alle $a [mm] \in [/mm] G$ existiert ein [mm] $\underline{a} \in [/mm] G$ mit [mm] $\underline{a} \circ a=e\,.$ ($\underline{a}$ [/mm] heißt LINKSINVERSES Element bzgl. [mm] $\,a$!) [/mm]
(Damit auch der Vorteil der Notation $a [mm] \circ b:=\circ(a,b)\,$ [/mm] klar zum Vorschein kommt: In der "üblichen Notation"
einer Abbildung sähe die Gleichheit beim Assoziativgesetz sonst so aus: [mm] $\circ(a,\,\circ(b,\,c))=\circ(\circ(a,\,b),\,c)\,,$ [/mm] wobei
ich hier ja auch schon die "Klammersparnotation" verwende!)
[| So mal allgemein reingeworfen: Warum nennt man obiges nicht einfach Linksgruppe?
Entsprechend definiere man dann den Begriff der Rechtsgruppe, und bekanntlich wäre
dann Linksgruppe=Rechtsgruppe=Gruppe, wobei man Gruppe hier auch mit "dem starken"
Axiomensystem definiert meint. Erwähnt sei auch nochmal, dass in solchen Definitionen,
neben der Assoz., sowas wie "linksneutral und rechtsinvers" (alleine) NICHT zu einer
Gruppe (in obigem Sinne) führt! |]
Hier zeigt zunächst (und das ist fast trivial): Solch' ein [mm] $e\,$ [/mm] wie in 2. gefordert ist eindeutig. Etwas
weniger trivial: Zu einem $a [mm] \in [/mm] G$ kann es nur ein linksinverses bzgl. [mm] $a\,$ [/mm] geben, d.h.: Ist $b [mm] \in [/mm] G$ mit
$b [mm] \circ a=e\,,$ [/mm] so folgt schon [mm] $b=\underline{a}\,.$
[/mm]
(Dabei meinen wir mit [mm] $\underline{a}$ [/mm] eben ein solches Element, das in 3. beschrieben und dessen Existenz
in 3. auch gesichert wird!)
Und noch etwas weniger trivial ist, dass linksinverse automatisch rechtsinvers sind (es gilt
nicht nur [mm] $\underline{a}\circ a=e\,,$ [/mm] sondern auch $a [mm] \circ \underline{a}=e$) [/mm] und das linksneutrale Element
[mm] $e\,$ [/mm] ist auch rechtsneutral, das heißt, es gilt nicht nur $e [mm] \circ [/mm] a=a$ für alle $a [mm] \in G\,,$ [/mm] sondern auch $a [mm] \circ [/mm] e=a$ für
alle $a [mm] \in G\,.$
[/mm]
Das wäre ein etwas großer Aufwasch für Deine Aufgabe, würde Dir aber auch dabei sofort helfen, wobei
nur die Argumentation dann vielleicht ein wenig "kleiner" erscheinen würde:
Durch das Nachrechnen von [mm] $(-1)*a+a=0\,$ [/mm] würdest Du folgern, dass [mm] $-1\,$ [/mm] additiv linksinvers zu [mm] $a\,$ [/mm]
ist. Damit wäre $(-1)*a$ das einzige additiv linksinverse zu [mm] $a\,,$ [/mm] welches insbesondere auch additiv
rechtsinvers wäre.
(Dafür bräuchtest Du noch nichtmal die Kommutativität der Addition - denn wie gesagt: Das gilt in
allgemeinen Gruppen! Deswegen spricht man bei der Definition dort auch manchmal direkt von "dem
Inversen" - analog auch von "dem Neutralen" Element: Man hat sowas wie "Beidseitigkeit" und
"Eindeutigkeit!", daher macht das dann Sinn!) Damit wäre es sofort 'das' Inverse.
(Ein gutes Buch dazu ist übrigens, wie ich finde: Algebra von Karpfinger und Meyberg!)
P.P.S. Die Beweise in allgemeinen Gruppen sind halt entsprechend "etwas schwieriger" (nicht
schwieriger zu verstehen, sondern es ist schwieriger, dabei auf die richtige Idee zu kommen).
In Ringen hat man "mehr" zur Verfügung, so dass man dort auch manche Sachen mit "Methoden"
beweisen kann, die in allgemeinen Gruppen nicht ginge. Zum Beispiel kann man in Ringen aus
$(-a)+a=0$ sofort [mm] $a+(-a)=0\,$ [/mm] schließen, weil man die Kommutativität der Addition hat. In
allgemeinen Gruppen ist der Beweis (das aus [mm] $\underline{a}\circ [/mm] a=e$ auch $a [mm] \circ \underline{a}=e$ [/mm] folgt)
etwas mühseliger. Er ließ sich aber sofort auch auf Ringe übertragen - wäre dann nur die Frage "Warum
rechnet man das nun so kompliziert in einem Ring?"
Du kannst also sagen: Je weniger mir die Struktur bietet, desto mehr muss ich mir Gedanken machen,
wie ich die zu beweisende Regel genau beweise (ich darf nur das verwenden, was ich zur Verfügung
habe). Wenn sie "viel" bietet, gibt's eventuell mehrere Wege, die zum Ziel führen... da sollte ich zwar
den einfachsten suchen, aber es schadet auch nicht, einen komplizierteren zu finden, weil der mir dann
eventuell hilft, bei Strukturen, die "weniger" bieten, dennoch einen Beweis der Regel dort zu führen...
Fazit: Wenn ich "gleiche Aussagen" habe, so kann ich die Beweise der Strukturen, die mir "wenig"
bieten, auch auf die Strukturen übertragen, die mir "viel" bieten. Umgekehrt ist das oft sogar unmöglich,
so dass ich mir dann in der "wenig anbietenden Struktur" vielleicht Gedanken darüber machen muss,
einen komplett neuen Beweis zu erschaffen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Chrisno,
> Hallo,
>
> und
>
> >
> > Da dies mein erster Beitrag hier ist, bitte ich um
> > nachsehen, falls ich etwas falsch gemacht habe [ schon beim
> > eintippen des Diskussionsthemas war ich unentschlossen was
> > die Formulierung angeht und ob das so richtig ist x) ]
> >
> Soweit ist das alles in Ordnung.
>
> > ....
> > In unserem Tutorium wurde uns ein Beispiel gezeigt, um uns
> > auf einen Ansatz zu bringen; dieses war:
> >
> > Zeige: [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \red{\IR}[/mm] a*0=0 gilt.
> >
> > So, also hab ich auch probiert irgendwas zu addieren oder
> > mit Nullen etwas zu machen aber hauptsächlich war
> > komplette Verwirrung in meinem Kopf.
> Ein ähnliches Vorgehen führt bei der Aufgabe zum Ziel:
> Zeige: [mm]\forall a \in \red{\IR}[/mm] gilt [mm](-1)*a +a = 0[/mm]
Du denkst mir zu reell.  Aber da ist die Verlockung auch groß, solch' ein [mm] "Ring-$R\,$"
[/mm]
mit dem "allgemein bekannten [mm] $\IR$" [/mm] zu verwechseln.
Edit: Oh, das war ja ursprünglich gar nicht von Dir (vermutlich C&P)... bitte auch
an den Fragesteller weitergeben. ^^
> > => a*0=a*0+a*0+(-a*0)=(0+0)*a + (-a*0)=0*a+(-a*0)=0
> Dann ist
> nämlich [mm](-1)*a[/mm] definitionsgemäß -a.
Daraus würde folgen, dass [mm] $(-1)*a\,$ [/mm] EIN ADDITIV LINKSINVERSES ist. Dann braucht er noch
die Eindeutigkeit der Linksinversen, um zu folgern, dass es auch "das" additiv Inverse ist (auch
da sollte die Eindeutigkeit bewiesen worden sein, um dass "das" auch schreiben zu dürfen). Denn
ansonsten könnte es ja - rein theoretisch - sehr viele additiv linksinverse Elemente geben, die nicht
mit dem additiv inversen übereinstimmen. (Praktisch wird das nicht gehen, denn additiv linksinverse
sind hier schon eindeutig!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Di 16.04.2013 | | Autor: | chrisno |
Hallo Marcel, ja, da habe ich nicht bis zum Anfang zurück gelesen. Da dachte ich mal, ich könnte noch mitspielen, wo das schon so lange her ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei (R,+,*) ein Ring mit dem neutralen Elementen 0 (für +)
> und 1 (für *). Weiterhin bezeichne -a das zu a bezüglich
> + inverse Element.
> Zeigen Sie, dass dann immer [mm](-1)\*a[/mm] = -a gilt.
Dir wurde ja schon viel ans Herz gelegt, aber eine Aussage habe ich dann
doch vermisst, oder überlesen:
Ist bekannt, dass das additiv Inverse eindeutig ist?
(Falls nicht, solltest Du das zunächst beweisen!)
Denn wenn das bekannt ist, so kannst Du so folgern:
1. Das additiv Inverse zu $a [mm] \in [/mm] R$ heißt $-a [mm] (\in [/mm] R)$ und demzufolge gilt [mm] $a+(-a)=(-a)+a=0\,.$
[/mm]
(Wegen der erwähnten Eindeutigkeit ist $-a [mm] \in [/mm] R$ das EINZIGE ELEMENT aus [mm] $R\,,$ [/mm] dass obige
Gleichheiten erfüllt. Man kann sich hier eigentlich auch auf weniger beschränken,
denn es reicht auch sowas wie "additiv linksinvers" oder "additiv rechtsinvers", da
auch da Eindeutigkeit alleine mit diesen Begrifflichkeiten schon vorherrscht!)
2. Wir zeigen, dass $((-1)*a) [mm] \in [/mm] R$ erfüllt
[mm] $$((-1)*a)+a=a+((-1)*a)=0\,.$$
[/mm]
Wenn 2. dann getan ist, dann kannst Du wegen der Eindeutigkeit des additiv Inversen
folgern, dass [mm] $(-1)*a=-a\,$ [/mm] gilt!
P.S. Und hilfreich wäre es dabei natürlich auch, zu wissen (siehe Definition der $1 [mm] \in [/mm] R$), dass
[mm] $a=1*a\,$ [/mm] gilt!
Denn dann kann man so rangehen:
$$(-1)*a+a=(-1)*a+1*a$$
und jetzt Distributivitätsgesetz anwenden (beachte auch, dass [mm] $-1\,$ [/mm] dass additiv Inverse zu der [mm] $1\,$ [/mm]
im Ring ist)!
Der Rest folgt dann mit dem, was Du selbst schon erwähntest: Es gilt [mm] $0*r=0\,$ [/mm] für alle $r [mm] \in R\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Sei [mm] (R;+;\*) [/mm] ein Ring mit dem neutralen Elementen 0 (für +) und 1 (für [mm] \*). [/mm] Weiterhin bezeichne -a das zu a bezüglich + inverse Element.
Zeigen Sie, dass dann immer [mm] (-1)\*a [/mm] = -a gilt. |
Nochmal vielen Dank für die ausfürliche Hilfe und die rege Beteiligung !
Ich hoffe, dass ich das Grundprinzip nun verstanden habe und es auch bei anderen Aufgaben anwenden kann.
Oben nochmal die ursprüngliche Aufgabe.
Meine Lösung lautet nun wie folgt:
Da [mm] (-1)\*a [/mm] = -a eindeutig -a definiert kann man aufgrund von
G2 ( a + e = a = e + a ) und G3 ( a + a' = e ) - bezüglich der Addition folgern:
=> a + [mm] (-1)\*a [/mm] = 0 ( G3, für die Addition )
=> [mm] 1\*a [/mm] + [mm] (-1)\*a [/mm] = 0 ( G2, für die Multiplikation )
=> [1 + [mm] (-1)]\*a [/mm] = 0 ( R3 also Distr. )
=> 0 [mm] \* [/mm] a = 0 ( G3, für die Addition )
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Hallo,
.
> Da [ (-1)*a ] = -a eindeutig -a definiert
> kann man [...] folgern:
> => a + [ (-1)*a ] = 0
Das stimmt so nicht.
Es wird hier nicht -a definiert, sondern es soll gezeigt werden, daß das Element (-1)*a für jedes [mm] a\in [/mm] R das inverse (bzgl +) von a ist.
Du kannst also nicht flink folgern, daß a+(-1)*a=0 ist,
sondern Du mußt vorrechnen (Gleichungskette), daß a+(-1)*a schließlich 0 ergibt.
Alle wesentlichen Rechenschritte kommen in Deinem Lösungsversuch bereits vor.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:05 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Angela,
ich schreib's jetzt einfach mal zusammen, weil ich denke, dass er es im
Wesentlichen verstanden hat, aber es am Aufschrieb hapert.
In einem Ring [mm] $R\,$ [/mm] gibt es zu (jedem beliebigen) $a [mm] \in [/mm] R$ genau ein Element [mm] $b=b_a \in R\,,$ [/mm] welches
$b+a=a+b=0$
erfüllt. Für jedes $a [mm] \in [/mm] R$ haben wir also die Existenz eines solchen Elements
gesichert, zudem auch die Eindeutigkeit. Das Element [mm] $b\,$ [/mm] wird auch als
"das(!) (additiv) Inverse zu [mm] $a\,$" [/mm] bezeichnet und man notiert [mm] $-\,a:=b\,.$ [/mm]
Ich gehe davon aus, dass dieses Wissen bekannt ist!
Behauptet wird nun: $(-1)*a$ ist "das(!) additiv Inverse zu $a [mm] \in [/mm] R$", wenn
$a [mm] \in [/mm] R$ beliebig, aber fest.
Beweis:
Wegen
[mm] $$(-1)*a+a=(-1)*a+1*a=((-1)+1)*a=0*a\,,$$
[/mm]
wobei das erste Gleichheitszeichen gilt, da [mm] $1\,$ [/mm] das multiplikativ neutrale
Element ist, das zweite wegen des Distributivitätsgesetzes und das dritte,
weil [mm] $-1\,$ [/mm] das additiv Inverse zu $1 [mm] \in R\,.$ [/mm] Weil zudem $0 [mm] \in [/mm] R$ das multiplikativ neutrale
Element ist, folgt aufgrund der in der Vorlesung bewiesenen Tatsache
[mm] $$0*r=0\;\;\;\;\; \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] R$$
insbesondere mit der ersten Gleichungskette im Beweis, dass [mm] $(-1)*a+a=0\,$ [/mm] gilt.
Aufgrund der Kommutativität der Addition folgt damit auch schon
[mm] $a+((-1)*a)=0\,,$ [/mm] so dass [mm] $(-1)*a\,$ [/mm] das additiv Inverse zu $a [mm] \in [/mm] R$ sein
muss, in Zeichen [mm] $(-1)*a=-\,a\,.$ $\Box$
[/mm]
So in etwa sollte das halt aufgeschrieben sein - eventuell sollte man vor
allem das "Vorgeplänkel" ein wenig kürzen - das steht hier im Wesentlichen,
weil es zum Verständnis wichtig ist!
Gruß,
Marcel
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