Konvergenz unendlicher Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Entscheiden Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren. |
Hallo,
eigentlich gehts nur zweitrangig um konvergenz. Ich soll folgende Reihe auf Konvergenz überprüfen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
So, meine frage: was haben die komischen punkte im nenner zu bedeuten?? sowas hab ich noch nie gesehen...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Reicheinstein,
> Entscheiden Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren.
> Hallo,
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> eigentlich gehts nur zweitrangig um konvergenz. Ich soll
> folgende Reihe auf Konvergenz überprüfen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> So, meine frage: was haben die komischen punkte im nenner
> zu bedeuten?? sowas hab ich noch nie gesehen...
>
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Da ist nicht anderes als das Produkt der ersten k ungeraden Zahlen zu bilden.
Gruß
MathePower
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hm, danke erstma für die schnelle antwort. aber was sollen die ersten k ungeraden zahlen sein? nur 1 und 3? das sieht doch na ner fakultät aller ungeraden zahlen aus... (2k-1)! für k=1 -> [mm] \infty [/mm] vllt?
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Hallo Reicheinstein,
> hm, danke erstma für die schnelle antwort. aber was sollen
> die ersten k ungeraden zahlen sein? nur 1 und 3?
Aber nein, 1 und 3 sind nur die ersten beiden (also die ersten zwei) ungeraden Zahlen.
Die ersten drei ungeraden Zahlen sind dann 1, 3, 5.
Die ersten 8 ungeraden Zahlen sind 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
Die erste (1-te) ungerade Zahl ist 1,
die zweite (2-te) ungerade Zahl ist 3,
die dritte (3-te) ungerade Zahl ist 5,
die 4-te ungerade Zahl ist 7,
die 5-te ungerade Zahl ist 9 und so weiter...
Wie du sicher feststellst, ist
die 5 um genau 1 weniger als das Doppelte von 3,
die 7 um genau 1 weniger als das Doppelte von 4,
die 9 um genau 1 weniger als das Doppelte von 5.
Deswegen kann man sagen, dass die k-te ungerade Zahl (sehr wahrscheinlich) dann auch um 1 kleiner ist als das Doppelte von k. In Formeln ist die k-te ungerade Zahl also gleich $2k-1$. Die ersten k ungeraden Zahlen sind also 1, 3, 5, blablabla, 2k-1.
> doch na ner fakultät aller ungeraden zahlen aus... (2k-1)!
$(2k-1)!$ ist das Produkt aller Zahlen von 1 bis (2k-1). Du willst jedoch nur die ungeraden. Man kann das zwar als Ausdruck mit Fakultäten schreiben, aber nicht so leicht wie du. Aber mal langsam.
Das Produkt der ersten 5 ungeraden Zahlen ist [mm] $1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9$.
[/mm]
Das Produkt der ersten 8 ungeraden Zahlen ist [mm] $1\cdot3\cdot\dots\cdot15.$
[/mm]
Ich habe hier (wie die meisten anderen) keine Lust, alle Zahlen hinzuschreiben. Daher die Punkte. Der Sprung von 1 nach 3 am Anfang zeigt an, dass nur ungerade Zahlen im Produkt vorkommen sollen.
Jetzt noch zu den Fakultäten:
Man kann
[mm] $1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11=\frac{11!}{2^5\cdot5!}$
[/mm]
oder allgemein
[mm] $1\cdot3\cdot(2k-1)=\frac{(2k-1)!}{2^k\cdot k!}$
[/mm]
schreiben. Es ist aber nicht erforderlich, dass du das jetzt nachvollziehen kannst.
Hugo
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danke für deine ausführliche antwort.
also ich hab immer noch n denkfehler bei den fakultäten, aber das is nich so wichtig. meine frage is ja beantwortet. ich nehme dann also an, dass die 1*3 irgendwie überflüssig is? also bleibt dann im nenner nur (2k-1) stehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Fr 25.04.2008 | | Autor: | abakus |
> danke für deine ausführliche antwort.
>
> also ich hab immer noch n denkfehler bei den fakultäten,
> aber das is nich so wichtig. meine frage is ja beantwortet.
> ich nehme dann also an, dass die 1*3 irgendwie überflüssig
> is? also bleibt dann im nenner nur (2k-1) stehen?
Wieso denn?
Der Nenner heißt 1*3*5*7*9* (und so weiter, dafür stehen die 3 Punkte...) bis zu dem letzten ungeraden Faktor. Insgesamt sind es k solcher ungeraden Faktoren.
Wenn z.B. k=10 wäre, hättest du das Produkt aller ungeraden Zahlen von 1 bis 19.
Gruß Abakus
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dann versteh ich aber immernoch nich, wie ich das dann rechnen soll! wie soll ich denn mit 1*3*...*(2k-1) rechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> dann versteh ich aber immernoch nich, wie ich das dann
> rechnen soll! wie soll ich denn mit 1*3*...*(2k-1) rechnen?
hast Du den Link mit dem Produktzeichen unten verstanden? Hier kannst Du z.B., wie bereits unten angedeutet, über das Quotientenkriterium gehen, die Rechnung mit "Pünktchen" sähe dann so aus:
[mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{(k+1)!}{\blue{1*3*...*(2k-1)}*(2(k+1)-1)}*\frac{\blue{1*3*...*(2k-1)}}{k!}=\frac{(k+1)!}{k!}*\frac{1}{2(k+1)-1}=\frac{k+1}{2k+1}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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hm, werd mich dann mal durch die aufgabe wurschteln
vielen dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
guck' auch mal hier rein:
https://matheraum.de/read?i=397747
Deine Reihe ist
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$, [/mm] wobei
[mm] $a_k=\frac{(-1)^k\cdot{}k!}{\produkt_{j=1}^{k}(2j-1)}$
[/mm]
D.h.:
[mm] $a_1=\frac{(-1)\cdot{}1!}{1}$
[/mm]
[mm] $a_2=\frac{(-1)^2\cdot{}2!}{1*3}$
[/mm]
[mm] $a_3=\frac{(-1)^3\cdot{}3!}{1*3*5}$
[/mm]
[mm] $a_4=\frac{(-1)^4\cdot{}4!}{1*3*5*7}$
[/mm]
[mm] $a_5=\frac{(-1)^5\cdot{}5!}{1*3*5*7*9}$
[/mm]
.
.
.
D.h., es geht um die Frage, ob der Grenzwert
[mm] $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+...=\frac{(-1)\cdot{}1!}{1}+\frac{(-1)^2\cdot{}2!}{1*3}+\frac{(-1)^3\cdot{}3!}{1*3*5}+\frac{(-1)^4\cdot{}4!}{1*3*5*7}+\frac{(-1)^5\cdot{}5!}{1*3*5*7*9}+...$
[/mm]
existiert (als Grenzwert der Folge der Partialsummen [mm] $(s_n)_n$, [/mm] wobei [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n a_k$ [/mm] mit den [mm] $a_k$ [/mm] von oben).
Gruß,
Marcel
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in bearbeitung...moment bitte
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ja, ich wollte Dir eigentlich sogar sagen, dass die Reihe nach dem Quotientenkriterium sogar absolut konvergiert und damit insbesondere auch konvergent ist.
Allerdings solltest Du dazu beachten:
Wegen [mm] $\lim_{k \to \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{1}{2}$ [/mm] ist insbesondere auch [mm] $\limsup_{k \to \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{1}{2} [/mm] < 1$, und damit folgt die (absolute) Konvergenz nach dem Quotientenkriterium (Version mit [mm] $\limsup...$, [/mm] sollte sie Dir nicht geläufig sein, frage bitte nochmal nach).
P.S.:
Die Konvergenz der Reihe kann man auch alleine mit Leibnizkriterium zeigen, wenn man die [mm] $|a_k|$ [/mm] geeignet nach oben abschätzt und damit zeigt, dass [mm] $(|a_k|)_k$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist...
Gruß,
Marcel
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sry, hab hier irgendwie mist gebaut. meine alte frage war schon richtig... sry
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also was limsup is...ka, hatten wir noch nich. und was du mit geeignet nach oben abschätzen meinst auch nich. aber musst du mir auch nich erklären. wie du willst ;) bekommen wir vllt noch, also das mit limsup bestimmt...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wenn das mit dem [mm] $\limsup$ [/mm] nicht bekannt ist:
Wegen [mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \to \frac{1}{2}$ [/mm] gibt es zu [mm] $\varepsilon=\frac{1}{4}$ [/mm] ein [mm] $K=K_\varepsilon$, [/mm] so dass
[mm] $\frac{1}{2}-\varepsilon [/mm] < [mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| <\frac{1}{2}+\varepsilon=\frac{3}{4}$ [/mm] für alle $k [mm] \ge [/mm] K$.
Also:
Wegen [mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| <\frac{3}{4}$ [/mm] für alle $k [mm] \ge [/mm] K$
folgt die (sogar absolute) Konvergenz der Reihe nach dem Quotientenkriterium.
Gruß,
Marcel
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hm ok, danke. ich werds mir mal in ruhe anschaun, vllt versteh ichs dann...sonst meld ich mich wieder :)
nochmals vielen dank
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http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
