Lösung von Gleichungssystemen mit dem Gauß-Algorithmus < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
habe gerade eure Homepage gefunden. Tolle Seite, nur bis jetzt habe ich leider nicht das gefunden was ich gesucht habe. Könnt ihr mir bei einer Aufgabe helfen die zu dem Thema: Lösung von Gleichungssystemen mit dem Gauß-Algorithmus gehört!? Da ich an der Lösung verzweifele benötige ich wirklich Hilfe!
4x-4y+3z=22
2x-3y+4z=19
-6x-y+5z=7
Hoffe ihr könnt mir helfen 
Gruß Nadine Klever
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Fr 12.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nadineklever,
willkommen im MatheRaum!
> habe gerade eure Homepage gefunden. Tolle Seite, nur bis
> jetzt habe ich leider nicht das gefunden was ich gesucht
> habe. Könnt ihr mir bei einer Aufgabe helfen die zu dem
> Thema: Lösung von Gleichungssystemen mit dem
> Gauß-Algorithmus gehört!? Da ich an der Lösung verzweifele
> benötige ich wirklich Hilfe!
Kein Problem.
> 4x-4y+3z=22
> 2x-3y+4z=19
> -6x-y+5z=7
Der Gauß-Algorithmus beruht auf dem Additionsverfahren für lineare Gleichungssysteme (LGS); er ist im Prinzip nur eine systematische Anwendung dieses Verfahrens.
Man versucht, durch "geschicktes" mehrmaliges Addieren einer Gleichung zu einer anderen in jedem Schritt eine Variable in einer Gleichung des LGS zu eliminieren.
Für ein LGS mit drei Variablen und drei Gleichungen sieht der "Fahrplan" so aus:
Start (die Fragezeichen (?) stehen für beliebe Zahlen):
|?x + ?y + ?z = ?
|?x + ?y + ?z = ?
|?x + ?y + ?z = ?
Durch Addition eines der ersten Gleichung zu Vielfachen der 2. und 3. Gleichung kann man folgende Nullen erzeugen:
|?x + ?y + ?z = ?
|0x + ?y + ?z = ?
|0x + ?y + ?z = ?
oder kompakter hingeschrieben:
|?x + ?y + ?z = ?
| ?y + ?z = ?
| ?y + ?z = ?
Nun addiert man die 2. Gleichung zu einem Vielfachen 3. Gleichung, und erreicht dort eine weitere Null:
|?x + ?y + ?z = ?
| ?y + ?z = ?
| 0y + ?z = ?
wieder kompakter aufgeschrieben:
|?x + ?y + ?z = ?
| ?y + ?z = ?
| ?z = ?
Die letzte Gleichung enthält nun nur noch eine einzige Variable, ihr Wert kann deswegen einfach bestimmt werden (durch Division durch den Koeefizienten von z).
Dieser Wert für z kann nun in die zweite Gleichung eingesetzt werden, wodurch diese wieder nur noch eine Variable, nämlich y, enthält. y ist also bestimmt.
y und z werden in die erste Gleichung eingesetzt, um x zu bestimmen.
Dieses Verfahren läßt sich sehr einfach auf LGS mit mehreren Variablen und/oder mehreren Gleichungen verallgemeinern.
Ich mache dir mal den ersten Schritt konkret an deinem Beispiel vor.
Wir haben:
| 4x - 4y + 3z = 22
| 2x - 3y + 4z = 19
|-6x - y + 5z = 7
Ich multiplizieren die zweite Gleichung mit -2 und erhalte:
| 4x - 4y + 3z = 22
|-4x + 6y - 8z = -38
|-6x - y + 5z = 7
nun addiere ich die 1. Gleichung zur 2. Gleichung:
| 4x - 4y + 3z = 22
| 0x + 2y - 5z = -16
|-6x - y + 5z = 7
Jetzt würde ich gerne die -6 der dritte Gleichung verschwinden lassen; ich könnte diese Gleichung einfach mit dem Bruch 2/3 multiplizieren und dann die erste Gleichung addieren. Da Brüche fehleranfällig sind und es hier noch einen bruchfreien Weg gibt, gehe ich lieber den:
Ich multipliziere die 3. Gleichung mit 2 und die erste Gleichung mit 3; dann haben beide als Koeffizient von x eine 12 bzw. -12:
| 12x - 12y + 9z = 66
| 2y - 5z = -16
|-12x - 2y + 10z = 14
Wenn ich nun die 1. Gleichung zur 3. addiere, verschwindet das x aus der 3. Gleichung:
| 12x - 12y + 9z = 66
| 2y - 5z = -16
| 0x - 14y + 19z = 80
kompakter:
| 12x - 12y + 9z = 66
| 2y - 5z = -16
| - 14y + 19z = 80
So, die weiteren Schritte überlasse ich zur Übung dir. Als nächstes mußt du die -14 in der dritte Gleichung eliminieren.
Sobald du deine Lösung (-sversuche) gepostet hast, schreibe ich ich auch noch mal den gesamten Rechenweg ohne lästige Detailrechnung auf (so, dass mit Zwischenrechnungen, die man im Kopf erledigen kann, fehlen).
Bis gleich,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Mo 26.12.2005 | | Autor: | fanat26 |
Hallo,ich möchte mich mal einmischen.
Die zweite Zeile könnte man mit 7 multiplizieren,und das Ergebniß zur dritten
Zeile addieren.
12X-12Y+9Z=66
14Y-35Z=-112
-16Z=-32
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Fr 12.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nadine,
ich möchte dich für deine zukünftigen Fragen hier im MatheRaum auf unseren Standpunkt zu Cross-Posts hinweisen.
Viele Grüße,
Marc
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