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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:08 Mi 17.05.2006 | | Autor: | dresdendolls |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Das Supremum einer nach oben beschränkten nichtleeren Menge M [mm] \subset \IR [/mm] ist Limes einer und jeder gegen eine obere Schranke von M konvergierenden Folge in M. |
Hi ihr alle,
habe bis jetzt leider nicht einmal einenwirklich brauchbaren Ansatz und keine Ahnung wie ich die Aufgabe bis morgen lösen soll..deswegen wärs toll, wenn ihr mir helfen würdet!!
Viele Grüße
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hallo dresdendoll,
wenn man genau hinschaut, verbergen sich zwei teilaufgaben hinter dieser aufgabe:
(1) - es gibt eine folge in $M$, die gegen das supremum $s$ konvergiert
(2) - jede folge, die gegen eine obere schranke konv., konv. gegen das supremum
zu (1): anschaulich heißt das ja, dass das $s$ 'beliebig' nah an der menge M dran ist. denn wenn es das nicht wäre, gäbe es noch eine kleinere schranke, was ein widerspruch wäre. (Denn: ein supremum ist als kleinste obere schranke definiert)
formal kannst du das so machen: zu [mm] $i\in \IN$ [/mm] betrachte eine [mm] $\frac [/mm] 1i$-Umgebung von $s$. Dann gibt es punkte aus $M$ in dieser umgebung, denn sonst wäre [mm] $s-\frac1i$ [/mm] obere schranke, also ein widerspruch. wähle also einen dieser punkte als [mm] $x_i$. [/mm] Die so definierte folge [mm] $x_i$ [/mm] konvergiert nach definition gegen $s$.
Den zweiten Teil kriegst du vielleicht alleine hin?!? hast du irgendwelche ideen/ansätze?
Gruß
Matthias
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