Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie das Minimalpolynom:
[mm] \pmat{ -2 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
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Hallo zusammen!
Kann mir jemand bitte erklären, wie man das Minimalpolynom von Matrizen berechnet. Vll leicht angelehnt an mein Beispiel.
Ich hab nämlich keine Ahnung wie das klappen soll
Mit freundlichen Grüßen
Gerd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Gerd!
Das charakteristische Polynom kann man ja sofort ablesen:
[mm] $CP_A(t) [/mm] = (-2-t) [mm] \cdot (1-t)^2$.
[/mm]
Da das Minimalpolynom das charakteristische Polynom teilt und die gleichen Linearfaktoren besitzt, kommen für dad Minimalpolynom nur die beiden folgenden Kandidaten in Frage:
[mm] $MP_A^1(t) [/mm] = (-2-t) [mm] \cdot [/mm] (1-t)$
und
[mm] $MP_A^2(t) [/mm] = (-2-t) [mm] \cdot (1-t)^2$.
[/mm]
Das Minimalpolynom ist das normierte Polynom kleinsten Grades, welches $A$ annuliert.
Du musst jetzt also nur noch schauen, ob [mm] $MP_A^1(A)=0$ [/mm] gilt.
Falls ja, so ist [mm] $MP_A^1$ [/mm] das Minimalpolynom. Falls nein, so ist es [mm] $MP_A^2$.
[/mm]
(Lösung: Es ist [mm] $MP_A^2$.)
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:51 Mo 30.01.2006 | | Autor: | mathe-gerd |
Ah jetzt hab ich es verstanden! Danke dir vielmals!!!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 So 09.03.2008 | | Autor: | fanatic1 |
Ich habe ein Verständnisproblem. Wie muss man sich das vorstellen, dass man die Matrix in das Minimalpolynom einsetzt? Das charakteristische Polynom ist doch "1x1", wie soll ich da eine 3x3 Matrix einsetzen?
$ [mm] MP_A^1(A)=0 [/mm] $
$ [mm] MP_A^2 [/mm] $
Könnte mir jemand die Rechnungen evtl. explizit vorführen?
Vielen Dank.
Ich habe die Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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Hallo,
die beiden Kandidaten fürs Minimalpolynom von A:=$ [mm] \pmat{ -2 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] $ waren
[mm] \mu_1(t)= [/mm] (-2-t) (1-t)
und
[mm] \mu_2(t)= [/mm] (-2-t) [mm] (1-t)^2.
[/mm]
Du mußt nun A in [mm] \mu_1(t)= [/mm] (-2-t) [mm] (1-t)=(-2*t^0-t) (1*t^0-t) [/mm] einsetzen und gucken, ob die Nullmatrix herauskommt, also
[mm] \mu_1(A)= (-2*A^0-A) (1*A^0-A)= [/mm] (-2*E-A) (1*E-A) berechnen.
Wenn hier nicht die Nullmatrix herauskommt, ist [mm] \mu_2 [/mm] das Minimalpolynom.
Gruß v. Angela
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