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| Aufgabe | Aufgabe ist es eine Funktion aus dem z-Bereich in den Zeit-Bereich zurückzutransformieren (Schlagwort Z-Transformation). Auf dem Lösungsweg muss folgende Übertragungsfunktion in ihre Partialbrüche zerlegt werden:
[mm]H(z)[/mm] = [mm] \bruch{z^2}{z^2-\wurzel{3}z+1}[/mm].
In anderen ähnlichen Aufgaben hat es sich jedoch als einfacher herausgestellt zunächst die Funktion
[mm]\bruch{H(z)}{z}[/mm] = [mm] \bruch{z}{z^2-\wurzel{3}z+1}[/mm]
zu betrachten. Hiervon interessiert mich also die Partialbruchzerlegung!
Vorgehensweise wie immer:
1. Nullstellen des Nenners finden:
Also [mm]z^2-\wurzel{3}z+1[/mm] = [mm]0[/mm]
Nun die p,q-Formel benutzen:
[mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}\pm\wurzel{\bruch{3}{4}-1}[/mm]
Es ergeben sich folgende komplexe Nullstellen:
[mm]z_1[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}+\bruch{i}{2}[/mm]
[mm]z_2[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}-\bruch{i}{2}[/mm]
Also eine Zahl [mm]z[/mm] und ihre konjugiert komplexe [mm]z^{\*}[/mm]
Soweit so gut! |
Aber weiter komm ich nicht!
Meine Versuche [mm]H(z)[/mm] durch Partialbrüche auszudrücken führten zu keiner Lösung, weil ich nicht wusste, wie ich den Nenner hinschreiben soll. Die Darstellung wie bei rein reellen Zahlen
[mm] \bruch{A}{(z+z_i)} [/mm]
ist wegen der komplexen Zahlen doch nicht anwendbar oder?
Ich habe im Internet allerdings eine mögliche Darstellung gefunden, welche mir aber auch nicht weiterhilft, da sie keine Vereinfachung des Terms gebracht hat:
Hierbei gilt für ein Paar Nullstellen [mm]z[/mm] und ihre konjugiert komplexe [mm]z^{\*}[/mm]
mit [mm] z [/mm] = [mm] a + ib [/mm]:
[mm]\bruch{H(z)}{z}[/mm] = [mm] \bruch{z}{z^2-\wurzel{3}z+1}[/mm] = [mm]\bruch{A*z+B}{(z-a)^2+b^2}[/mm]
Der Koeffizientenvergleich bringt A = 1 und B = 0, was mir nichts bringt, weil ich dann wieder bei meiner ursprünglichen Darstellung angelangt bin....
Ziel ist es mittels der Partialbruchzerlegung eine vereinfachte Darstellung von [mm]H(z)[/mm] zu finden. Diese Darstellung möchte ich dann mit einer Tabelle/Formelsammlung zur Z-Transformation abgleichen, In dieser Tabelle stehen Terme im Z-Bereich und deren Rücktransformierte!
Falls jemand näheres zur Z-Transformation wissen möchte muss dieser Wunsch nur geposted werden, ich werde dann alles zum Besten geben, was ich davon weiß =)
Vielen Dank für eure Hilfe,
Andy
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Hallo Andy,
ich denke, du kannst die PBZ ganz normal anwenden:
[mm] \bruch{H(z)}{z}=\bruch{z}{z^2-\wurzel{3}z+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{z}{\left(z-(\bruch{\wurzel{3}}{2}-\bruch{i}{2})\right)\left(z-(\bruch{\wurzel{3}}{2}+\bruch{i}{2})\right)}=\bruch{z}{(z-\bruch{\wurzel{3}}{2}+\bruch{i}{2})(z-\bruch{\wurzel{3}}{2}-\bruch{i}{2})}=\bruch{A}{z-\bruch{\wurzel{3}}{2}+\bruch{i}{2}}+\bruch{B}{z-\bruch{\wurzel{3}}{2}-\bruch{i}{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{A(z-\bruch{\wurzel{3}}{2}-\bruch{i}{2})+B(z-\bruch{\wurzel{3}}{2}+\bruch{i}{2})}{\left(z-(\bruch{\wurzel{3}}{2}-\bruch{i}{2})\right)\left(z-(\bruch{\wurzel{3}}{2}+\bruch{i}{2})\right)}=\bruch{(A+B)z+(\bruch{1}{2}B(i-\wurzel{3})+\bruch{1}{2}A(-\wurzel{3}-i))}{z^2-\wurzel{3}z+1}
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert:
(1) A+B=1 [mm] \Rightarrow [/mm] A=1-B
(2) [mm] \bruch{1}{2}B(i-\wurzel{3})+\bruch{1}{2}A(-\wurzel{3}-i)=0
[/mm]
A=1-B in (2) einsetzen ergibt nach einiger Rechnerei:
[mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2}+(B-\bruch{1}{2})i=0 \Rightarrow Bi=\bruch{1}{2}(\wurzel{3}+i) \Rightarrow \red{B}=\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{3}+i}{i}=\red{\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i}
[/mm]
Und damit [mm] \green{A=\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i}
[/mm]
Folglich [mm] \bruch{H(z)}{z}=\bruch{z}{z^2-\wurzel{3}z+1}=\bruch{\green{\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i}}{z-\bruch{\wurzel{3}}{2}+\bruch{i}{2}}+\bruch{\red{\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i}}{z-\bruch{\wurzel{3}}{2}-\bruch{i}{2}}
[/mm]
Puh, ich hoffe, ich hab mich da mal nicht verrechnet 
Schönen Gruß
schachuzipus
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