Polynome Äquivalenz v. Auss. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:52 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Es sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und f = [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \in \IK[x]
[/mm]
Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen :
a) Es gibt ein Polynom g [mm] \in \IK[x] [/mm] mit (x-1)*g = f
b) [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0
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Hallo Ihr lieben Helfer ,
zunächst möchte ich Euch umgangssprachlich zeigen dass ich die
erkenne , wie logisch und offensichtlich diese Äquivalenz ist :
(x-1)*g ist ja ausmultipliziert g*x - g
wenn ich ein Polynom g habe ( [mm] ax^{m}+ bx^{n}+cx^{o}.....)
[/mm]
und es mit x multipliziere , dann hat sich im Ergebnis gx an den Koeffizienten ja nichts geändert.
Also gx = ( [mm] ax^{m+1}+bx^{n+1}+cx^{o+1}.......)
[/mm]
Die Summe der Koeffizienten von g ist also gleich der Summe der Koeffizienten von gx , demnach ist die Summe der Der Koeffizienten
von (gx-g) gleich 0.
ich muss nun die Äquivalenz mathematisch exakt ausdrücken.
Zu zeigen ist ja :
[mm] \exists [/mm] Polynom g : (x-1)g = f [mm] \gdw \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0
Also muss ich beide Richtungen zeigen
Ich habe begonnen mit : zu zeigen
[mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \exists [/mm] Polynom g : (x-1)g = f
also :
meine Vorraussetzung ist ja [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0
Ich wählte ein Polynom [mm] f_{1} [/mm] , welches dieser Voraussetzung erfüllt :
Polynom [mm] f_{1}: (x+2x^{2}-3x^{3})
[/mm]
jetzt muss ich ein Polynom g finden , welches mit (x-1) multipliziert
das Polynom [mm] f_{1} [/mm] ergibt
also : [mm] (x+2x^{2}-3x^{3}) [/mm] : (x-1) = [mm] (-3x^{2} [/mm] - x) = g
Ich habe jetzt also die Existenz eines solchen Polynoms g gezeigt,
was ja auch mein Ziel war.
Jetzt ist mir aber aufgefallen , das ich ja eigentlich nur die existenz eines Polynoms g gezeigt habe welches mit (x-1) multipliziert ein einziges Polynom nämlich [mm] (x+2x^{2}-3x^{3}) [/mm] ergibt , welches die Voraussetzung
[mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0 erfüllt.
Ich muss aber doch zeigen , dass es für alle Polynome(und das sind ja unendlich viele) die die Vorraussetzng [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0
erfüllen , solch ein Polynom g gibt
Na gut . Um für das spezielle Polynom [mm] (x+2x^{2}-3x^{3}) [/mm] das Polynom
g zu errechnen habe ich es durch ( x-1) geteilt:
[mm] x+2x^{2}-3x^{3}) [/mm] : (x-1) = [mm] (-3x^{2} [/mm] - x) = g
Was für das spezielle geht , kann für das allgemeine nicht falsch sein :
Also muss ich zeigen :
[mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] (x-1) teilt [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} x^{j}
[/mm]
Rechnung:
[mm] [\summe_{j=0}^{n} a_{j} x^{j}] [/mm] : (x-1) = g
Ich weiß noch aus der Schule , dass wenn ein Polynom die Nullstelle a hat
dann ist das Polynom durch (x-a) teilbar. Weenn ich also zeige ,dass bei dem allgemeinen Polynom [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} [/mm] mit der Vorraussetzung [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0 1 eine Nullstelle ist , dann habe ich gezeigt , das es durch (x-1) teilbar ist und der Wert des Quotienten ist g.
Wenn ich im Polynom
[mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} [/mm] für x 1 einsetze dann erhalte ich :
[mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] * 1
Unter dr Vorraussetzung : [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0
ist dann [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] * 1 = 0
Jetzt habe ich gezeigt , dass das 1 eine Nullstelle aller Polynome mit
der Voraussetzung [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0 ist
und diese somit durch (x-1) teilbar sind und somit ein
Polynom g existiert mit (x-1)g = f .
Mathematisch formuliert :
[mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} [/mm] = 0
[mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0
============================>>>>
x=1
[mm] \Rightarrow [/mm] (x-1) | [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} x^{j}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g = [mm] (\summe_{j=0}^{n} a_{j} x^{j}] [/mm] : (x-1)
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] Polynom g : (x-1)g = f
so jetz habe ich die eine Richtung gezeigt :
[mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \exists [/mm] Polynom g : (x-1)g = f
aber , aber aber , aber :
Ich zhabe jetzt einfach die Tatsache benutzt , dass ein Polynom ,welches die Nullstelle a hat, durch ( x -a ) teilbar ist. Diese Tatsache hatten wir noch nicht bewiesen ,ich darf mich also doch eigentlich nicht darauf berufen.
ich müsste das jetzt eigentlich noch beweisen ( dann könnte mann meiner Meinung nach an meiner Lösung nichsts aussetzen)
oder ich zeige das
f unter der Vorraussetzung [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0
( ich nenne sie ab jetzt v ) durch (x-1) teilbar ist.
Also:
Rechnung :
[mm] (\summe_{j=0}^{n} a_{j} x^{j}) [/mm] : (x-1)
= [mm] \summe_{j=0}^{n} \bruch{a_{j}*x^{j}}{x-1}
[/mm]
......................
(hier suche ich also ein allgemeines polynom g , welches mit (x-1)
multipliziert das allgmeine Polynom f ergibt bei dem
[mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0 ist.
..........................
Nun muss ich noch die andere Richtung zeigen :
[mm] \exists [/mm] Polynom g : (x-1)g = f [mm] \Rightarrow \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0
definiere g := [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] gx := [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i} x^{i+1}
[/mm]
(x-1)*g = f
[mm] \Rightarrow [/mm] gx - g = f
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] (\summe_{i=0}^{n} a_{i} x^{i+1}) [/mm] - [mm] (\summe_{k=0}^{n} a_{k} x^{k})
[/mm]
= [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j} x^{j}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] (\summe_{i=0}^{n} a_{i}) [/mm] - [mm] (\summe_{k=0}^{n} a_{k})
[/mm]
= [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j}
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] (\summe_{i=0}^{n} a_{i}) [/mm] - [mm] (\summe_{k=0}^{n} a_{k}) [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \summe_{j=0}^{n} a_{j} [/mm] = 0 qed.
Damit habe ich die andere Richtung gezeigt oder ??
Ich bitte Euch um Überprüfung meiner Überlegungen und um Hilfe bei der
Suche welche ich bei Richtung 1 zwischen den Pünktchen beschrieben habe.
Vielen Dank für Eure Hilfe . So eine Hilfe im Web ist einfach Klasse für jeden Studenten.
Habt Dank für Rat
LG
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
hat keiner einen Tip ?
LG
Thomas
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> Es sei [mm]\IK[/mm] ein Körper und f = [mm]\summe_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \in \IK[x][/mm]
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> Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen :
>
> a) Es gibt ein Polynom g [mm]\in \IK[x][/mm] mit (x-1)*g = f
>
> b) [mm]\summe_{j=0}^{n} a_{j}[/mm] = 0
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> Hallo Ihr lieben Helfer ,
Ich antworte nur, weil Deine Frage als überfällig markiert ist: denn mir ist Deine ganze Überlegung einfach zu kompliziert. Ich denke, dies muss sich einfacher zeigen lassen.
b) ist ja nichts anderes als die Aussage $f(1)=0$. Dass aus a) $(x-1)g(x)=f(x)$ folgt, dass $f(1)=0$ gilt, ergibt sich durch blosses Einsetzen von $1$ für $x$ in a): $(1-1)g(x)=f(1)$.
Dass aus b), d.h. $f(1)=0$, folgt, dass es ein Polynom $g(x)$ mit $(x-1)g(x)=f(x)$ gibt, erhält man meiner unmassgeblichen Meinung nach daraus, dass wegen $f(1)=0$ gilt: [mm] $f(x)=f(x)-f(1)=a_n(x^n-1)+a_{n-1}(x^{n-1}-1)+\cdots +a_1(x-1)+a_0(1-1)$. [/mm] Daraus lässt sich mittels wiederholter Anwendung der Beziehung [mm] $x^k-1=(x-1)\cdot(x^{k-1}+x^{k-2}+\cdots [/mm] 1)$ ein Faktor $(x-1)$ abspalten und schliesslich ausklammern, womit man das gesuchte Polynom $g(x)$ erhält.
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