Positiv homogen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Do 29.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Eine Funktion f: V [mm] \to [/mm] W, wobei V und W Banachräume sind, heißt positiv homogen vom Grad k, falls [mm] f(tv)=t^k*f(v) [/mm] für alle t>0 und alle v [mm] \in [/mm] V.
Sei k [mm] \in \IN [/mm] und f: V [mm] \to [/mm] W sei differenzierbar für alle v [mm] \in [/mm] V mit [mm] D_{v}f(v)=k*f(v). [/mm] Ferner sei f(0):=0. Zeige: Dann ist f positiv homogen vom Grad k. |
Hallo,
die Umkehrung habe ich schon gezeigt. Nur muss ich das noch zeigen. Aber leider keine Idee... Bitte helft mir auf die Sprünge. Danke!
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Fr 30.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo kiri!
> Eine Funktion f: V [mm]\to[/mm] W, wobei V und W Banachräume sind,
> heißt positiv homogen vom Grad k, falls [mm]f(tv)=t^k*f(v)[/mm] für
> alle t>0 und alle v [mm]\in[/mm] V.
>
> Sei k [mm]\in \IN[/mm] und f: V [mm]\to[/mm] W sei differenzierbar für alle v
> [mm]\in[/mm] V mit [mm]D_{v}f(v)=k*f(v).[/mm] Ferner sei f(0):=0. Zeige: Dann
> ist f positiv homogen vom Grad k.
>
> Hallo,
> die Umkehrung habe ich schon gezeigt. Nur muss ich das
> noch zeigen. Aber leider keine Idee... Bitte helft mir auf
> die Sprünge. Danke!
Damit fuer alle $v [mm] \in [/mm] V$, $t > 0$ gilt $f(t v) = [mm] t^k [/mm] f(v)$, heisst ja grad dass fuer jedes $v [mm] \in [/mm] V$ die Funktion [mm] $\IR_{> 0} \to [/mm] W$, $t [mm] \mapsto \frac{f(t v)}{t^k}$ [/mm] konstant gleich $f(v)$ ist. Da fuer $t = 1$ eh $f(v)$ rauskommt, reicht es also zu zeigen, dass die konstant ist.
Da $t [mm] \mapsto \frac{f(t v)}{t^k}$ [/mm] diffbar ist (da $f$ es ist) reicht es also zu zeigen, dass die Ableitung konstant 0 ist, das also [mm] $\frac{d}{d t} \frac{f(t v)}{t^k} [/mm] = 0$ gilt fuer alle $t > 0$ und alle $v [mm] \in [/mm] V$.
Jetzt kannst du [mm] $\frac{d}{d t} \frac{f(t v)}{t^k}$ [/mm] vielleicht mal versuchen auszurechnen, etwa mit sowas wie Quotientenregel und Kettenregel... Ich kann mir vorstellen dass sich das ganze dann in wohlgefallen aufloesen wird 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 30.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
Alles klar. Das kriege ich hin.
Lieben Dank
kiri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 31.05.2008 | | Autor: | schapp |
bin auch gerade an dieser aufgabe und habe noch 2 fragen:
- wieso reicht es, den fall t=1, wenn es für alle t gelten soll?
- wie genau sieht [mm] \bruch{\partial}{\partial t} \bruch{f(tv)}{t^{k}} [/mm] aus? da muss ja irgendwo der gradient ins spiel kommen, damit man die voraussetzung anwenden kann?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Sa 31.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> bin auch gerade an dieser aufgabe und habe noch 2 fragen:
>
> - wieso reicht es, den fall t=1, wenn es für alle t gelten
> soll?
Der Fall reicht nicht. Das hab ich auch nie behauptet.
Ich habe folgendes behauptet: es reicht zu zeigen, dass die Funktion [mm]\bruch{\partial}{\partial t} \bruch{f(tv)}{t^{k}}[/mm] konstant gleich $f(v)$ ist.
Da die Funktion [mm]\bruch{\partial}{\partial t} \bruch{f(tv)}{t^{k}}[/mm] an der Stelle $t = 1$ den Wert $f(v)$ annimmt, reicht es also zu zeigen, dass [mm]\bruch{\partial}{\partial t} \bruch{f(tv)}{t^{k}}[/mm] ueberhaupt konstant ist.
Mehr nicht.
> - wie genau sieht [mm]\bruch{\partial}{\partial t} \bruch{f(tv)}{t^{k}}[/mm]
> aus? da muss ja irgendwo der gradient ins spiel kommen,
> damit man die voraussetzung anwenden kann?!
Was kennst du denn so fuer Rechenregeln fuer die Ableitung?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 So 01.06.2008 | | Autor: | schapp |
ich würds mit quotientenregel ableiten und im zähler zusätzlich kettenregel, bin mir aber unsicher wie das dann aussieht. ich habs so gemacht, da kommt dann aber nicht 0 raus glaube ich:
[mm] \bruch{\partial}{\partial t} \bruch{f(tv)}{t^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{\partial}{\partial t} f(tv)*t^k-f(tv)*k*t^{k-1}}{t^{2k}}
[/mm]
wie genau sieht [mm] \bruch{\partial}{\partial t}{f(tv)} [/mm] aus?
ist das [mm] D_{v}f(tv)*v [/mm] oder wie leitet man sowas ab??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 So 01.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich würds mit quotientenregel ableiten und im zähler
> zusätzlich kettenregel, bin mir aber unsicher wie das dann
> aussieht. ich habs so gemacht, da kommt dann aber nicht 0
> raus glaube ich:
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial t} \bruch{f(tv)}{t^{k}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{\partial}{\partial t} f(tv)*t^k-f(tv)*k*t^{k-1}}{t^{2k}}[/mm]
Sieht gut aus.
> wie genau sieht [mm]\bruch{\partial}{\partial t}{f(tv)}[/mm] aus?
>
> ist das [mm]D_{v}f(tv)*v[/mm] oder wie leitet man sowas ab??
Na, das musst du wissen, du hoerst die Vorlesung zu der Fragestellung, nicht ich.
Ich wuerd's mit der Definition der Ableitung versuchen. Du musst [mm] $\lim_{h \to 0} \frac{f((t + h) v) - f(t v)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{f(t v + h v) - f(t v)}{h}$ [/mm] berechnen. (Hier ist $h$ ein Skalar.)
Nun weisst du, dass [mm] $\lim_{h' \to 0} \frac{f(t v + h') - f(t v) - (D_{f v} f)(h')}{\| h' \|} [/mm] = 0$ gilt; hier ist $h'$ ein Vektor.
Jetzt nimm doch mal $h' = h v$ mit dem Skalar $h$; dann muss ja insbesondere [mm] $\lim_{h' \to 0} \frac{f(t v + h v) - f(t v) - (D_{f v} f)(h v)}{\| h v \|} [/mm] = 0$ gelten. Da der Grenzwert 0 ist und da [mm] $D_{f v} [/mm] f$ linear ist gilt auch [mm] $\lim_{h' \to 0} \frac{f(t v + h v) - f(t v) - \frac{h}{t} (D_{f v} f)(t v)}{h \cdot \| v \|} [/mm] = 0$. Hat doch schonmal gewissen Aehnlichkeit mit [mm] $\frac{f(t v + h v) - f(t v)}{h}$, [/mm] oder?
LG Felix
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