Potentialfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] F(x,y)=(4x^3y^3+1/x)i +(3x^4*y^2 [/mm] -1/y) j |
Finde die Potential funktion. Ich weiss dass die funktion conserved ist und dan habe ich die Integration mit x und y gemacht und folgendes erhalten:
[mm] ln(x)+x^4*y^3 [/mm] fuer x und fuer y: [mm] -ln(y)+y^3*x^4 [/mm] und dann habe ich keinen Ahnung mehr wie ich weiter machen muss.
Vielen Dank Julia
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Hallom Playmuckel,
> [mm]F(x,y)=(4x^3y^3+1/x)i +(3x^4*y^2[/mm] -1/y) j
> Finde die Potential funktion. Ich weiss dass die funktion
> conserved ist und dan habe ich die Integration mit x und y
> gemacht und folgendes erhalten:
> [mm]ln(x)+x^4*y^3[/mm] fuer x und fuer y: [mm]-ln(y)+y^3*x^4[/mm] und dann
> habe ich keinen Ahnung mehr wie ich weiter machen muss.
Da ist nicht ganz korrekt:
[mm]F_{x}=4*x^{3}*y^{3}+\bruch{1}{x}\Rightarrow F=x^{4}*y^{3}+\ln\left(x\right)+\phi\left(y\right)[/mm]
Das differenzierst Du jetzt nach y und
vergleichst das Ergebnis mit [mm]3x^{4}*y^{2}-\bruch{1}{y}[/mm]
Damit kommst Du auf die fehlende Funktion [mm]\phi\left(y\right)[/mm].
> Vielen Dank Julia
Gruss
MathePower
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Warum sollte ich des nach y differenzieren mein Buch sagt dass man die i komponente nach x integriert und dann die j komponent nach y und dann schaut was man als gemeinsames hat und dann des was nicht gemeinsam ist irgendwie zusammen stueckelt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Sa 28.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> Warum sollte ich des nach y differenzieren mein Buch sagt
> dass man die i komponente nach x integriert und dann die j
> komponent nach y und dann schaut was man als gemeinsames
> hat und dann des was nicht gemeinsam ist irgendwie zusammen
> stueckelt
Das ist eine nicht sehr gute Beschreibung der Vorgehensweise, weil es dir nicht sagt, wie du zusammenstückeln musst.
Tatsächlich ist Mathpowers Methode eine saubere Vorschrift dafür.
Denn: wenn $V(x,y)$ die gesuchte Potentialfunktion ist, dann ist
[mm] F(x,y)= \bruch{\partial V(x,y)}{\partial x} i + \bruch{\partial V(x,y)}{\partial y} j [/mm]
Also ist
[mm] \bruch{\partial V(x,y)}{\partial x} = 4x^3y^3+\bruch{1}{x} [/mm], [mm] \bruch{\partial V(x,y)}{\partial y}=3x^4\cdot{}y^2-\bruch{1}{y} [/mm]
Da du in der ersten Gleichung [mm] $\bruch{\partial V(x,y)}{\partial x}$, [/mm] also nur die partielle Ableitung nach x stehen hast, fallen beim Ableiten von $V(x,y)$ alle Summanden weg, die nicht von x abhängen, sondern nur von y.
Deswegen bekommst du beim Integrieren nach x nicht die Potentialfunktion $V(x,y)$ heraus, sondern eine Funktion
[mm] V_1(x,y) = x^4y^3+\ln x [/mm],
die sich von $V(x,y)$ durch einen Summanden [mm] $\phi(y)$ [/mm] unterscheidet, der nur von y abhängt.
Das gleiche passiert bei der Integration von [mm] $\bruch{\partial V(x,y)}{\partial y}$: [/mm] du bekommst eine Funktion
[mm] V_2(x,y) = y^3x^4 -\ln y [/mm],
die sich von $V(x,y)$ durch einen Summanden [mm] $\psi(x)$ [/mm] unterscheidet, der nur von x abhängt.
Das heisst, eigentlich steht da
(*) [mm] x^4y^3+\ln x + \phi(y) = V(x,y) = y^3x^4 -\ln y + \psi(x) [/mm].
Dein Buch sagt dir, dass du durch Anstarren der beiden Teile [mm] $x^4y^3+\ln [/mm] x$ und [mm] $y^3x^4 -\ln [/mm] y $ auf die unbekannten Funktionen [mm] $\phi(y)$ [/mm] und [mm] $\psi(x)$ [/mm] kommen sollst. Anstarren ist durchaus eine funktionierende Methode, aber sie hat den großen Nachteil, dass sie nicht systematisch funktioniert 
Stattdessen kannst du die Ausgangsgleichungen benutzen. Die beiden Seiten in (*) müssen ja gleich sein, also sind sie das auch, wenn du nach x oder y ableitest. Ich leite (*) nach x ab:
[mm] 4x^3y^3+\bruch{1}{x} = 4x^3y^3+ + \psi'(x) \implies \psi'(x) = \bruch{1}{x} \implies \psi(x) = \ln x [/mm].
Dann nach y:
[mm] 3x^4y^2 +\phi'(y) = 3x^4y^2 - \bruch{1}{y} \implies \phi'(y) = - \bruch{1}{y} implies \phi(y) = -\ln y[/mm].
Wenn du das einsetzt, steht auf beiden Seiten von (*) die gleiche Funktion
[mm] V(x,y) = x^4y^3+\ln x-\ln y = x^4y^3 + \ln \bruch{x}{y} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
vielen dank deine antwort hat mit sehr geholfen, meine einzige frage ist es jetz ob es egal ist Funktion ich als Potentialfunktion angebe von den zwei Moeglichkeiten oder muss ich beide angeben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 So 29.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> vielen dank deine antwort hat mit sehr geholfen, meine
> einzige frage ist es jetz ob es egal ist Funktion ich als
> Potentialfunktion angebe von den zwei Moeglichkeiten oder
> muss ich beide angeben?
Am Ende muss in beiden Fällen die gleiche Potentialfunktion herauskommen (bis auf eine unbestimmte additive Konstante, die immer da ist). Der Unterschied besteht darin, dass du in einem Fall zuerst in x- und dann in y-Richtung integrierst, im anderen erst in y-, dann in x-Richtung.
Viele Grüße
Rainer
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