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Hallo Zusammen,
Ich versuche gerade folgenden Beweis zu verstehen:
[mm]f:\left[a,b\right]\to\mathbb{R}[/mm] sei stetig und es gelte [mm]\textstyle\int_a^b{\left|f(t)\right|^2\operatorname{d}\!t}=0[/mm]. Zeigen Sie: [mm]f\equiv 0[/mm].
Annahme: [mm]\exists x_0\in\mathbb{R}:\left|f\left(x_0\right)\right|^2>0[/mm]. Sei [mm]\epsilon := \left|f\left(x_0\right)\right|^2[/mm]. Da [mm]f\![/mm] stetig ist, gilt: [mm]\exists\delta >0:\left|x-x_0\right|<\delta\Rightarrow\left|f(x)\right|^2 >\tfrac{\epsilon}{2}[/mm]. Damit ist
[mm]\int_a^b{\left|f(t)\right|^2\operatorname{d}\!t}\geqslant\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}{\left|f(t)\right|^2\operatorname{d}\!t}\geqslant 2\delta\cdot{}\frac{\epsilon}{2}>0[/mm]
im Widerspruch zur Voraussetzung.
Ich habe mir dazu folgende Skizze gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich verstehe beispielsweise nicht, wie hier die Stetigkeit von [mm]f\![/mm] ausgenutzt wird. Wir nehmen uns also ein [mm] $\delta$ [/mm] welches länger als der Abstand zwischen diesem [mm] $x_0$ [/mm] und einem beliebigen [mm]x \in \left[a, b\right][/mm] ist. Und daraus soll nun folgen, daß der Funktionswert an dieser Stelle (blau gezeichnet) größer als [mm]\tfrac{\epsilon}{2}[/mm] sein soll. Wieso eigentlich? Es könnte doch sein, daß der Funktionswert an genau dieser Stelle nahezu [mm]0\![/mm] ist. Also [mm]< \tfrac{\epsilon}{2}[/mm], oder?
Die Ungleichung, die nach "Damit gilt" kommt, scheint mir dagegen "ein Bißchen einleuchtender" zu sein. Ich weiß nicht, ob es an der Skizze liegt, aber es scheint tatsächlich so zu sein, daß die rote Fläche (Integral ganz links) kleiner ist, als die grüne Fläche (Integral in der Mitte). Und das die grüne Fläche offenbar wirklich größer ist als das grüne Rechteck. Also ist die Ungleichung nur teilweise erfüllt, weil das erste [mm]\geqslant\texttt{-Zeichen}[/mm] ungerechfertigt ist und das ist dann wohl der hier gemeinte Widerspruch, oder? Aber warum besitzt das grüne Rechteck in dieser Ungleichung eine Fläche, die größer [mm]0\![/mm] ist?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
[P.S. Ich würde außerdem gerne wissen, ob die Skizze, die ich gezeichnet habe, einigermaßen anschaulich ist, oder ob sie selbst Fehler enthält.]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: unbekannt) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Mo 30.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Karl
zu deiner zeichnung: ich halte die für recht unpraktisch - ich mache aber selbst eher seltener skizzen, von daher kann ich das vielleicht auch nicht richtig einschätzen. zum einen interessiert einen nur das verhalten der funktion im intervall $[a, b]$ - der rest ist völlig uninteressant. zum anderen hat die von dir rot schraffierte fläche nicht mal annähernd den flächeninhalt null. eine naheliegendere idee, wäre ja, dass [mm] $f^2$ [/mm] "fast überall" null wäre und nur an ganz wenigen punkten "aus der reihe tanzt", die dann nicht zum flächeninhalt beitragen. richtig und gut ist an der zeichnung auf jeden fall, dass [mm] $f^2$ [/mm] nur positive werte annimmt.
ich denke, dass dein hauptproblem in dem verstäniss des ausdrucks der hier für die stetigkeit verwendet wird liegt.
eine funktion $f: [a, b] [mm] \longrightarrow \mathbb{R}$ [/mm] ist ja im punkt [mm] $x_0 \in [/mm] ]a, b[$ stetig, wenn
[m] \forall \, \varepsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0 \; \forall \, x \in U_\delta (x_0): |f(x) - f(x_0) | < \varepsilon [/m],
also wenn man stets ein kleines intervall um [mm] $x_0$ [/mm] auf der $x$-achse findet, so dass sich der funktionswert für alle $x$ in diesem intervall von dem funktionswert an der stelle [mm] $x_0$ [/mm] um weniger als ein vorgebenenes [mm] $\varepsilon$ [/mm] unterscheidet.
dies ist hier in der äquivalenten form
[m] \forall \, \varepsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0 : (|x - x_0| < \delta \Longrightarrow |f(x) - f(x_0) | < \varepsilon) [/m]
verwendet worden, dass heißt dass es ein [mm] $\delta$ [/mm] gibt, so dass, wenn $x$ von [mm] $x_0$ [/mm] einen kleineren abstand als [mm] $\delta$ [/mm] hat stets folgt, dass sich die funktionswerte nur gering unterscheiden.
nun wird im beweis angenommen, dass die funktion $f$ nicht die konstante nullfunktion ist, also dass es einen punkt [mm] $x_0 \in [/mm] [a, b]$ gibt, so dass der funktionswert an dieser stelle ungleich null ist. und es wird [mm] $\varepsilon' [/mm] := [mm] f(x_0)^2 [/mm] > 0$ gestzt. da es für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt, so dass sich die funktionswerte in der [mm] $\delta$-umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] nur weniger als [mm] $\varepsilon$ [/mm] unterscheiden, gibt es insbesondere auch für [mm] $\varepsilon [/mm] := [mm] \frac{\varepsilon'}{2} [/mm] = [mm] \frac{f^2(x_0)}{2}$ [/mm] solch ein [mm] $\delta$. [/mm] damit müssen aber alle funktionswerte in diesem [mm] $\delta$-intervall [/mm] größer als [mm] $\frac{\varepsilon'}{2}$ [/mm] sein (da sie sich betragsmäßig höchsten um [mm] $\frac{\varepsilon'}{2}$ [/mm] von [mm] $\varepsilon'$ [/mm] unterscheiden), etwas fornaler ausgedrückt:
[m] \exists \, \delta > 0 : |x - x_0| < \delta \Longrightarrow |f(x) | > \varepsilon = \frac{\varepsilon'}{2} = \frac{f^2(x_0)}{2} [/m]
das ist die aussage die hier verwendet wird. der rest folgt dann aus der nicht-negtivität der zu integrierenden funktion (deshalb darf nämlich der integrtionsbereich eingeschränkt werden, wobei sich der wert des integrals höchstens verkleinert) und der monotonie des integrals (deshalb kann die funktion in dem neuen, kleineren intervall durch [mm] $\frac{\varepsilon'}{2}$ [/mm] nach unten abgeschätzt werden), sowie der linearität des integrals.
vielleicht ist der beweis jetzt etwas klarer, sonst frage nochmal nach.
grüße
andreas
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Hallo Andreas,
Die Erläuterung, die du mir gegeben hast, scheint mir schon irgendwie einleuchtend. Da ich mir aber selber nicht sicher bin, was ich eigentlich nicht verstehe, werde ich wohl noch etwas mehr über diesen Beweis "meditieren" müssen. 
> der rest folgt
> dann aus der nicht-negtivität der zu integrierenden
> funktion (deshalb darf nämlich der integrtionsbereich
> eingeschränkt werden, wobei sich der wert des integrals
> höchstens verkleinert) und der monotonie des integrals
> (deshalb kann die funktion in dem neuen, kleineren
> intervall durch [mm]\frac{\varepsilon'}{2}[/mm] nach unten
> abgeschätzt werden), sowie der linearität des integrals.
>
> vielleicht ist der beweis jetzt etwas klarer, sonst frage
> nochmal nach.
Könntest du in diesem letzten Abschnitt vielleicht doch noch etwas detailierter auf diese "nicht-Negativität", Monotonie, ... eingehen.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Di 31.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi
also nochmal ein versuch :
die funktion die zu integrieren ist, ist nicht-negativ, ich nenne sie im weiteren einfach $g$:
also entweder $g [mm] \equiv [/mm] 0$, also $g(x) = 0 [mm] \; \forall \, [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b]$ oder es gibt ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a, b]: [mm] g(x_0) [/mm] = C > 0$. im ersten fall ist man schon fertig. wir müssen jetzt nur noch zeigen, dass der zweite fall nie eintreten kann.
also nehmen wir an, er sei doch eingetereten und zeigen, dass dann eine der voraussetzungen verletzt sein muss:
sei also [mm] $x_0 \in [/mm] [a, b]$ und [mm] $g(x_0) [/mm] =: C > 0$. da $g$ stetig ist, ist $g$ dann auch in einer kleinen [mm] $\delta$-umgebueng [/mm] um [mm] $x_0$ [/mm] größer als z.b. [mm] $\frac{C}{2}$ [/mm] (das ist das, was ich in meiner letzten antwort beschrieben habe - schau mal bitte dort nach, falls dir das nicht klar ist).
also gilt für $x [mm] \in ]x_0 [/mm] - [mm] \delta, x_0 [/mm] + [mm] \delta[$, [/mm] dass gilt: $ g(x) [mm] \geq \frac{C}{2}$.
[/mm]
nun gilt für das integral:
[m] \int_a^b g(x) \, \text{d}x = \int_a^{x_0 - \delta} g(x) \, \text{d}x + \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} g(x) \, \text{d}x + \int_{x_0 + \delta}^b g(x) \, \text{d}x [/m]
wgen $g(x) [mm] \geq [/mm] 0$ gilt dann natürlich auch [mm] $\textstyle{ \int_a^{x_0 - \delta} g(x) \, \text{d}x \geq \int_a^{x_0 - \delta} 0 \, \text{d}x = 0}$ [/mm] und [mm] $\textstyle{ \int_{x_0 + \delta}^b g(x) \, \text{d}x \geq \int_{x_0 + \delta}^b 0 \, \text{d}x = 0}$ [/mm] (das bezeichnet man als monotonie des integrals, das wenn man eine funktion integriert, die überall größer oder gleich ist als eine andere auch stets das integral über die erste funktion größer oder gleich ist, als das integral über die zweite funktion). damit gilt für obige abschätzung - da hier nur nicht-negative terme weggelassen werden:
[m] \int_a^b g(x) \, \text{d}x = \underbrace{ \int_a^{x_0 - \delta} g(x) \, \text{d}x}_{\geq 0} + \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} g(x) \, \text{d}x + \underbrace{\int_{x_0 + \delta}^b g(x) \, \text{d}x}_{\geq 0} \geq \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} g(x) \, \text{d}x [/m]
mit der monotonie gilt aber jetzt für den noch verbliebenen term - da [m] g(x) \geq \frac{C}{2} [/m] für $x$ im integrationsbereich, also fürv[m] x \in ]x_0 - \delta, x_0 + \delta[ [/m], dass [m] \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} g(x) \, \text{d}x \geq \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} \frac{C}{2} \, \text{d}x = \frac{C}{2}(x_0 + \delta - (x_0 - \delta)) = \frac{C}{2} 2 \delta [/m]
setzt man also obige ungleichungskette fort, so erhält man:
[m] \int_a^b g(x) \, \text{d}x \geq \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} g(x) \, \text{d}x \geq \frac{C}{2} \delta > 0[/m]
also insbesondere
[m] \int_a^b g(x) \, \text{d}x > 0[/m]
was ja offensichtlich ein widerspruch zur voraussetzung [m] \int_a^b g(x) \, \text{d}x = 0 [/m] ist. somit ist die annahme, dass es ein [mm] $x_0$ [/mm] gibt, so dass [mm] $g(x_0) [/mm] > 0$ ist, falsch und somit darf der oben genannte zweite fall nie eintreten, folglich beliebt nur der erste fall, also ist [m] g \equiv 0 [/m].
das war der beweis nochmal etwas ausführlicher. schau mal, ob du damit zurecht kommst, sonst schriebe mal, wo du konkret probleme beim verstänis hast!
grüße
andreas
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