Reihen: Konvergenz und Summen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen und berechnen Sie die Summen der konvergenten Reihen.
a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-3)^k}{4^k}[/mm]
b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm]
c) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2}{k!}[/mm] |
a) und b) konnte ich (hoffentlich richtig) lösen, bei c) komme ich aber nicht weiter …
a)
[mm]s_{n} = \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-3)^k}{4^k} = \left ( - \bruch{3}{4} \right )^n[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} s_{n} = 0[/mm]
Die Teilsumme [mm]s_{n}[/mm] konvergiert gegen 0 (= der Summe der Reihe), somit ist auch die Reihe konvergent.
Hier hatte ich ursprünglich die Konvergenz anhand des Quotientenkriteriums gezeigt. Da mir das allerdings nicht hilft, wenn es um die Summe der Reihe geht, habe ich nun direkt den Weg über die Teilsummenfolge gewählt, der zwei Fliegen mit einer Klappe schlägt: Ich kann so die Konvergenz und gleichzeitig die Summe der Reihe zeigen.
Trotzdem (oder gerade deshalb) die Frage: Wäre das als vollständige Lösung so in Ordnung?
b)
Die harmonische Reihe [mm]\summe \bruch{1}{k}[/mm] ist divergent. Da [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}} \geq \bruch{1}{k}[/mm] für alle [mm]k \geq 1[/mm] , ist auch [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm] divergent.
Passt das so?
c)
Generell kenne ich drei Möglichkeiten:
i) Bildung der Teilsumme um Konvergenz (und Summe der Reihe) zu zeigen (wie in a)
ii) Anwendung des Majorantenkriteriums (wie in b)
iii) Anwendung des Quotientenkriteriums
Möglichkeit iii kann ich schon ausschließen – denn ich hab's ausprobiert und stehe am Schluss mit folgendem Ausdruck da:
[mm]\left | \bruch{k+1}{k^2} \right | \leq q < 1[/mm]
Gemäß der Definition des Quotientenkriteriums muss aber [mm]0 \leq q < 1[/mm] gelten, was schon bei [mm]k = 1[/mm] nicht der Fall ist.
Für Möglichkeit ii) fehlt mir eine konvergente Reihe, mit deren Hilfe ich die zu untersuchende Reihe abschätzen könnte.
Und bei i) bekomme ich es nicht hin, ein Bildungsgesetz für die Teilsummenfolge zu erstellen.
Ich wäre Euch dankbar, wenn Ihr mir hier helfen würdet.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Prüfen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen und
> berechnen Sie die Summen der konvergenten Reihen.
>
> a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-3)^k}{4^k}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2}{k!}[/mm]
>
>
> a) und b) konnte ich (hoffentlich richtig) lösen, bei c)
> komme ich aber nicht weiter …
>
>
>
> a)
>
> [mm]s_{n} = \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-3)^k}{4^k} = \left ( - \bruch{3}{4} \right )^n[/mm]
diese Gleichheit ist Unsinn. Denke eher mal an geometrische Summen,
denn man kann hier [mm] $(-3)^k/4^k=(-3/4)^k$ [/mm] benutzen!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} s_{n} = 0[/mm]
Das ist entsprechend dann ein Folgefehler - s.o.!
> Die Teilsumme [mm]s_{n}[/mm] konvergiert gegen 0 (= der Summe der
> Reihe),
Das ist ebenfalls unsinnig, was Du da behauptet: Eine Reihe im Sinne der
Folge ihrer Teilsummen ist keinesfalls das gleiche wie der Grenzwert
der Teilsummenfolge. Das Symbol [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] hat nur halt,
unter der Voraussetzung der Kgz. der Teilsummenfolge, die beiden
Bedeutungen: Es kann einerseits die Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] mit
[mm] $s_n:=\sum_{k=0}^n a_k$ [/mm] meinen, andererseits auch
[mm] $\lim_{n \to \infty}s_n\,.$ [/mm] Falls die Reihe divergent ist, d.h., falls
die Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] divergiert, hat man halt nur noch eine Bedeutung
dieses Symbols. Und im Falle der Konvergenz der Reihe muss man halt
aus der Situation heraus erkennen, was es nun meint!
> somit ist auch die Reihe konvergent.
>
> Hier hatte ich ursprünglich die Konvergenz anhand des
> Quotientenkriteriums gezeigt.
Das wäre gegangen!
> Da mir das allerdings nicht
> hilft, wenn es um die Summe der Reihe geht, habe ich nun
> direkt den Weg über die Teilsummenfolge gewählt, der zwei
> Fliegen mit einer Klappe schlägt: Ich kann so die
> Konvergenz und gleichzeitig die Summe der Reihe zeigen.
Aber Du hast halt die Teilsummenfolge falsch dargestellt, s.o.!
> Trotzdem (oder gerade deshalb) die Frage: Wäre das als
> vollständige Lösung so in Ordnung?
Nein, weil Du halt da die "summenfreie Darstellung" der [mm] $s_n$
[/mm]
falsch hast.
Erinnere Dich:
[mm] $$\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
[/mm]
für $|q| < [mm] 1\,,$ [/mm] und alle $n [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm] Benutze dabei [mm] $q=-3/4\,.$
[/mm]
>
>
> b)
>
> Die harmonische Reihe [mm]\summe \bruch{1}{k}[/mm] ist divergent. Da
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}} \geq \bruch{1}{k}[/mm] für alle [mm]k \geq 1[/mm]
> , ist auch [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm]
> divergent.
>
> Passt das so?
Ja! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Man kann der Deutlichkeit einmal dazwischen ergänzen:
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt [mm] $\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}\,,$ [/mm] also folgt...)
>
>
> c)
>
> Generell kenne ich drei Möglichkeiten:
> i) Bildung der Teilsumme um Konvergenz (und Summe der
> Reihe) zu zeigen (wie in a)
> ii) Anwendung des Majorantenkriteriums (wie in b)
> iii) Anwendung des Quotientenkriteriums
>
> Möglichkeit iii kann ich schon ausschließen – denn ich
> hab's ausprobiert und stehe am Schluss mit folgendem
> Ausdruck da:
>
> [mm]\left | \bruch{k+1}{k^2} \right | \leq q < 1[/mm]
>
> Gemäß der Definition des Quotientenkriteriums
Das ist keine Defintion, sondern ein SATZ!
> muss aber [mm]0 \leq q < 1[/mm]
> gelten, was schon bei [mm]k = 1[/mm] nicht der Fall ist.
Wie habt ihr das Quotientenkriterium denn formuliert? (Nebenbei gesagt:
Das ist auch kein notwendiges, sondern HINREICHENDES Kriterium! D.h.,
wenn man gewisse Sachen, die da drinstehen weiß, dann kann man
auf die Konvergenz/Divergenz der Reihe schließen. Es gibt aber auch
Reihen, deren Konvergenz/Divergenz man alleine mit dem
Quotientenkriterium NICHT beurteilen kann!)
Wenn bei Euch irgendwo "für alle [mm] $k\,$" [/mm] steht, dann ist das falsch:
Dort muss dann "für FAST alle [mm] $k\,$" [/mm] stehen - und damit ist gemeint:
Es gibt eine Zahl [mm] $K_0 \in \IN_0\,,$ [/mm] so dass die "entsprechende Aussage"
für alle $k [mm] \ge K_0$ [/mm] gilt.
Und das ist doch okay, es ist leicht, einzusehen, dass
[mm] $$\left|\frac{k+1}{k^2}\right| \le [/mm] 3/4 [mm] \quad \text{ für alle }k \ge 2\,,$$ [/mm]
wobei ja $0 [mm] \le [/mm] 3/4 < [mm] 1\,.$ [/mm]
Also?
P.S. Ich bevorzuge sowieso die Formulierung des QKs mit dem [mm] $\limsup\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank für Deine ausführliche Antwort.
> diese Gleichheit ist Unsinn. Denke eher mal an geometrische
> Summen,
> denn man kann hier [mm](-3)^k/4^k=(-3/4)^k[/mm] benutzen!
Okay, neuer Versuch:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-3)^k}{4^k} = \summe_{k=0}^{\infty} \left (- \bruch{3}{4} \right )^k[/mm] ist eine geometrische Reihe mit [mm]q = - \bruch{3}{4}[/mm] .
Da [mm]\left | q \right | < 1[/mm] , ist die Reihe konvergent mit dem Grenzwert [mm]\bruch{1}{1 + \bruch{3}{4}} = \bruch{4}{7}[/mm] .
> > Gemäß der Definition des Quotientenkriteriums
>
> Das ist keine Defintion, sondern ein SATZ!
Pardon, das hast Du natürlich recht.
> Wie habt ihr das Quotientenkriterium denn formuliert?
"Gibt es ein q mit [mm]0 \leq q < 1[/mm], sodass [mm]\left | a_{n+1} \right | \leq q \left | a_{n} \right |[/mm] für fast alle [mm]n[/mm], dann konvergiert [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}[/mm] absolut."
> Wenn bei Euch irgendwo "für alle [mm]k\,[/mm]" steht, dann ist das
> falsch:
> Dort muss dann "für FAST alle [mm]k\,[/mm]" stehen - und damit ist
> gemeint:
> Es gibt eine Zahl [mm]K_0 \in \IN_0\,,[/mm] so dass die
> "entsprechende Aussage"
> für alle [mm]k \ge K_0[/mm] gilt.
In der Vorlesung haben wir das auch so formuliert. Mein Fehler. 
> Und das ist doch okay, es ist leicht, einzusehen, dass
> [mm]\left|\frac{k+1}{k^2}\right| \le 3/4 \quad \text{ für alle }k \ge 2\,,[/mm]
> wobei ja [mm]0 \le 3/4 < 1\,.[/mm]
Autsch … na klar, das passt natürlich!
Da muss bei mir irgendwas beim Nachrechnen schiefgegangen sein …
Die Konvergenz der Reihe aus Aufgabenteil c) wäre damit also überprüft.
Hätte ich hier eigentlich auch verwenden können, dass [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm] die eulersche Zahl ist (welches eine konvergente Reihe ist)?
Bzw. muss ich das einbringen, wenn es jetzt darum geht die Summe der Reihe zu ermitteln?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für Deine ausführliche Antwort.
>
>
> > diese Gleichheit ist Unsinn. Denke eher mal an geometrische
> > Summen,
> > denn man kann hier [mm](-3)^k/4^k=(-3/4)^k[/mm] benutzen!
>
> Okay, neuer Versuch:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-3)^k}{4^k} = \summe_{k=0}^{\infty} \left (- \bruch{3}{4} \right )^k[/mm]
> ist eine geometrische Reihe mit [mm]q = - \bruch{3}{4}[/mm] .
>
> Da [mm]\left | q \right |\red{=3/4} < 1[/mm] , ist die Reihe konvergent mit
> dem Grenzwert [mm]\bruch{1}{1 + \bruch{3}{4}} = \bruch{4}{7}[/mm] .
>
> > > Gemäß der Definition des Quotientenkriteriums
> >
> > Das ist keine Defintion, sondern ein SATZ!
>
> Pardon, das hast Du natürlich recht.
>
>
> > Wie habt ihr das Quotientenkriterium denn formuliert?
>
> "Gibt es ein q mit [mm]0 \leq q < 1[/mm], sodass [mm]\left | a_{n+1} \right | \leq q \left | a_{n} \right |[/mm]
> für fast alle [mm]n[/mm], dann konvergiert [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}[/mm]
> absolut."
>
> > Wenn bei Euch irgendwo "für alle [mm]k\,[/mm]" steht, dann ist das
> > falsch:
> > Dort muss dann "für FAST alle [mm]k\,[/mm]" stehen - und damit
> ist
> > gemeint:
> > Es gibt eine Zahl [mm]K_0 \in \IN_0\,,[/mm] so dass die
> > "entsprechende Aussage"
> > für alle [mm]k \ge K_0[/mm] gilt.
>
> In der Vorlesung haben wir das auch so formuliert. Mein
> Fehler.
>
>
> > Und das ist doch okay, es ist leicht, einzusehen, dass
> > [mm]\left|\frac{k+1}{k^2}\right| \le 3/4 \quad \text{ für alle }k \ge 2\,,[/mm]
> > wobei ja [mm]0 \le 3/4 < 1\,.[/mm]
>
> Autsch … na klar, das passt natürlich!
> Da muss bei mir irgendwas beim Nachrechnen schiefgegangen
> sein …
Wieso? Gerechnet hattest Du ja richtig, Du hattest nur aus dem "FAST
ALLE" einfach ein "ALLE" gemacht. Wenn man dieses Wort: "fast"
dabei überliest oder nicht beachtet, hat man natürlich nur eine "sehr
eingeschränkte Version" des Qks.
> Die Konvergenz der Reihe aus Aufgabenteil c) wäre damit
> also überprüft.
Vor allem nachgewiesen.
> Hätte ich hier eigentlich auch verwenden können, dass
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm] die eulersche Zahl ist
> (welches eine konvergente Reihe ist)?
Die eulersche Zahl ist keine konvergente Reihe, sondern bei der von Dir
genannten konvergenten Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty [/mm] (1/k!)$ (AN DIESER
Stelle meint [mm] $\sum_{k=0}^\infty [/mm] (1/k!)$ also die entspr. Folge [mm] $(s_n)_n$)
[/mm]
ist der Grenzwert der Teilsummenfolge, also der Grenzwert in der Notation
[mm] $\sum_{k=0}^\infty [/mm] (1/k!)$ meint nun [mm] $\lim_{n \to\infty}s_n\,,$ [/mm] gerade [mm] $e\,.$
[/mm]
> Bzw. muss ich das einbringen, wenn es jetzt darum geht die
> Summe der Reihe zu ermitteln?
Stimmt, da sollst Du ja auch den Reihenwert berechnen. Das geht vielleicht
schon, ich habe mir da über den Reihenwert noch keine Gedanken
gemacht. Aber es könnte sein, dass man mal ein bisschen mit
Cauchyprodukten rumspielen kann... (Jemand anderes kann vll.
konkretere oder bessere Tipps geben, wenn er/sie sich schon
den Grenzwert der Reihe herleiten konnte!)
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
> > > Und das ist doch okay, es ist leicht, einzusehen, dass
> > > [mm]\left|\frac{k+1}{k^2}\right| \le 3/4 \quad \text{ für alle }k \ge 2\,,[/mm]
> > > wobei ja [mm]0 \le 3/4 < 1\,.[/mm]
> >
> > Autsch … na klar, das passt natürlich!
> > Da muss bei mir irgendwas beim Nachrechnen schiefgegangen
> > sein …
>
> Wieso? Gerechnet hattest Du ja richtig, Du hattest nur aus
> dem "FAST
> ALLE" einfach ein "ALLE" gemacht. Wenn man dieses Wort:
> "fast"
> dabei überliest oder nicht beachtet, hat man natürlich
> nur eine "sehr
> eingeschränkte Version" des Qks.
Stimmt, das ergibt Sinn.
> Die eulersche Zahl ist keine konvergente Reihe, sondern bei
> der von Dir
> genannten konvergenten Reihe [mm]\sum_{k=0}^\infty (1/k!)[/mm] (AN
> DIESER
> Stelle meint [mm]\sum_{k=0}^\infty (1/k!)[/mm] also die entspr.
> Folge [mm](s_n)_n[/mm])
> ist der Grenzwert der Teilsummenfolge, also der Grenzwert
> in der Notation
> [mm]\sum_{k=0}^\infty (1/k!)[/mm] meint nun [mm]\lim_{n \to\infty}s_n\,,[/mm]
> gerade [mm]e\,.[/mm]
Das klingt plausibel.
Ich bin zu meiner Aussage gekommen, weil wir gesagt haben, dass - Zitat - "die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm] konvergiert"
und direkt im Anschluss dann definiert haben: [mm]e := \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm] .
Daraus habe ich geschlossen, dass die Eulersche Zahl eine konvergente Reihe sein muss.
> > Bzw. muss ich das einbringen, wenn es jetzt darum geht die
> > Summe der Reihe zu ermitteln?
>
> Stimmt, da sollst Du ja auch den Reihenwert berechnen. Das
> geht vielleicht
> schon, ich habe mir da über den Reihenwert noch keine
> Gedanken
> gemacht. Aber es könnte sein, dass man mal ein bisschen
> mit
> Cauchyprodukten rumspielen kann... (Jemand anderes kann
> vll.
> konkretere oder bessere Tipps geben, wenn er/sie sich
> schon
> den Grenzwert der Reihe herleiten konnte!)
Ich habe das jetzt so gelöst:
[mm]2e = 2 * \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} + \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} = \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(k-1)!} + \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(k-2)!} = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k!} + \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k(k-1)}{k!} = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^2}{k!}[/mm]
Damit kann ich mir prinzipiell auch den Weg über das Quotientenkriterium sparen, da ich jetzt die Konvergenz und den Grenzwert der Folge gezeigt habe.
Sehe ich das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 So 11.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Hallo Marcel,
>
> > > > Und das ist doch okay, es ist leicht, einzusehen, dass
> > > > [mm]\left|\frac{k+1}{k^2}\right| \le 3/4 \quad \text{ für alle }k \ge 2\,,[/mm]
> > > > wobei ja [mm]0 \le 3/4 < 1\,.[/mm]
> > >
> > > Autsch … na klar, das passt natürlich!
> > > Da muss bei mir irgendwas beim Nachrechnen schiefgegangen
> > > sein …
> >
> > Wieso? Gerechnet hattest Du ja richtig, Du hattest nur aus
> > dem "FAST
> > ALLE" einfach ein "ALLE" gemacht. Wenn man dieses Wort:
> > "fast"
> > dabei überliest oder nicht beachtet, hat man natürlich
> > nur eine "sehr
> > eingeschränkte Version" des Qks.
>
> Stimmt, das ergibt Sinn.
>
>
> > Die eulersche Zahl ist keine konvergente Reihe, sondern bei
> > der von Dir
> > genannten konvergenten Reihe [mm]\sum_{k=0}^\infty (1/k!)[/mm] (AN
> > DIESER
> > Stelle meint [mm]\sum_{k=0}^\infty (1/k!)[/mm] also die entspr.
> > Folge [mm](s_n)_n[/mm])
> > ist der Grenzwert der Teilsummenfolge, also der
> Grenzwert
> > in der Notation
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty (1/k!)[/mm] meint nun [mm]\lim_{n \to\infty}s_n\,,[/mm]
> > gerade [mm]e\,.[/mm]
>
> Das klingt plausibel.
> Ich bin zu meiner Aussage gekommen, weil wir gesagt haben,
> dass - Zitat - "die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]
> konvergiert"
genau, hier bedeutet das Symbol [mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}$ [/mm] eben einfach
die Folge [mm] $\big(\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}\big)_{n \in \IN_0}\,,$ [/mm] also [mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} \equiv\big(\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}\big)_{n \in \IN_0}\,.$
[/mm]
> und direkt im Anschluss dann definiert haben: [mm]e := \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]
Hier ist [mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}$ [/mm] eben der Grenzwert
der (KONVERGENTEN) Folge [mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}\equiv\big(\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}\big)_{n \in \IN_0}\,,$
[/mm]
und der Grenzwert ist eben gemeint im Sinne von
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}=\lim_{n \to \infty}\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}\,.$$
[/mm]
Also: Das Symbol [mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}$ [/mm] würde i.a.
ERSTMAL die Folge [mm] $\big(\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}\big)_{n \in \IN_0}$ [/mm] bezeichnen. WEIL aber diese Folge konvergiert, kann man mit
dem Symbol
[mm] $$\big(\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}\big)_{n \in \IN_0}$$
[/mm]
aber auch den Grenzwert, also [mm] $\lim_{n \to \infty}\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}$ [/mm] meinen!
>
> Daraus habe ich geschlossen, dass die Eulersche Zahl eine
> konvergente Reihe sein muss.
Nein - überleg' auch mal, das würde ja heißen, dass die Eulersche Zahl
$e [mm] \in \IR^{\IN_0}=\{f: \IN_0 \to \IR\}$ [/mm] - also eine Abbildung - wäre,
wenn man Folgen als Abbildungen [mm] $\IZ_{\ge z_0} \to \IR$ [/mm] ansieht (meist
[mm] $z_0=0\,$ [/mm] oder [mm] $z_0=1$), [/mm] wobei [mm] $\IZ_{\ge z_0}:=\{z\in \IZ: z \ge z_0\}\,.$
[/mm]
Also die Notation
[mm] $$e:=\sum_{k=0}^\infty \frac [/mm] 1 {k!}$$
bedeutet, dass [mm] $e\,$ [/mm] DER GRENZWERT der Folge [mm] $\big(\sum_{k=0}^n \frac [/mm] 1 [mm] {k!}\big)_{n \in \IN_0}$ [/mm] ist!
>
> > > Bzw. muss ich das einbringen, wenn es jetzt darum geht die
> > > Summe der Reihe zu ermitteln?
> >
> > Stimmt, da sollst Du ja auch den Reihenwert berechnen. Das
> > geht vielleicht
> > schon, ich habe mir da über den Reihenwert noch keine
> > Gedanken
> > gemacht. Aber es könnte sein, dass man mal ein bisschen
> > mit
> > Cauchyprodukten rumspielen kann... (Jemand anderes kann
> > vll.
> > konkretere oder bessere Tipps geben, wenn er/sie sich
> > schon
> > den Grenzwert der Reihe herleiten konnte!)
>
> Ich habe das jetzt so gelöst:
>
> [mm]2e = 2 * \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} + \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} = \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(k-1)!} + \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(k-2)!} \red{\;=\;} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k!} + \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k(k-1)}{k!} = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^2}{k!}[/mm]
>
> Damit kann ich mir prinzipiell auch den Weg über das
> Quotientenkriterium sparen, da ich jetzt die Konvergenz und
> den Grenzwert der Folge gezeigt habe.
>
> Sehe ich das richtig?
Ja, das rote Gleichheitszeichen finde ich aber schon ein wenig knapp
gehalten.
Ich würde es so aufschreiben:
[mm] $$2e=...=\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{k!}+\sum_{k=2}^\infty \frac{k(k-1)}{k!}=\frac{1}{1!}+\sum_{k=\red{2}}^\infty \left(\frac{k}{k!}+\frac{k(k-1)}{k!}\right)=...$$
[/mm]
Und da siehst Du dann auch, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{k!}=2e\,,$ [/mm] es wäre aber auch
[mm] $$\sum_{k=\red{\;0}}^\infty \frac{k^2}{k!}=2e\,.$$
[/mm]
Das ist zwar formal nicht ganz das, was in der Aufgabe gefragt war, aber
eigentlich würde es auch die Frage der Aufgabe genauso gut beantworten!
Gruß,
Marcel
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