Summenformel von Diagonalen im < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 So 21.11.2004 | | Autor: | nini1709 |
Hallo zusammen, hab da ein Problem
Habe die Aufgabe eine Summenformel der Diagonalen im n-Eck zu bestimmen und mittels Induktion zu beweisen.
Die Bildungsvorschrift um zu bestimmen wieviel Diagonale ein n-Eck besitzt, hab ich schon. Die Reihe lautet also:
0+2+5+9+...+n(n-3)/2= ?????
[mm] n\ge3 [/mm]
Wie lautet die Summenformel ?
Könnt ihr mir helfen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=44077#44077
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 So 21.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Nini!
Deine Summe scheint mir soweit richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schreiben wir das Ganze mal mit Hilfe des Summezeichens, dann ergibt sich für die Anzahl der Diagonalen:
[mm] $A=\summe_{k=3}^{n}{\frac{k(k-3)}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\left( \summe_{k=1}^{n}{k^2}-\summe_{k=1}^{n}{3k} - (1^2+2^2) + (3\cdot 1+3\cdot 2) \right)$
[/mm]
Schaffst du es nun, diese Formel mit Hilfe der Summenformeln
[mm] $\summe_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
und
[mm] $\summe_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
[/mm]
herzuleiten?
Versuch's einfach mal, wenn du Probleme hast, dann frag nach!
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=44077#44077
Vielen Dank für den Hinweis!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 So 21.11.2004 | | Autor: | nini1709 |
Sorry, aber kann mit dem was du geschrieben hast eigentlich gar nichts anfangen. Wie kommst du auf die erste Gleichung?
Auch was du mit den andern beiden willst versteh ich nicht.
Habe mir die Partialsummen aufgeschrieben und komme so auf:
[mm] s_{1}=0
[/mm]
[mm] s_{2}=0+2=2
[/mm]
[mm] s_{3}=0+2+5=7
[/mm]
[mm] s_{4}=0+2+5+9=16
[/mm]
[mm] s_{5}=0+2+5+9+14=30
[/mm]
[mm] s_{6}=0+2+5+9+14+20=50
[/mm]
Eigentlich muss ich doch jetzt überlegen wie ich von
1 auf 0
2 auf 2
3 auf 7
4 auf 16
usw komme, oder? Und die Formel die ich dann rausbekomme ist meine Summenformel.
Sie enthält aber kein Summenzeichen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo nini
> Habe mir die Partialsummen aufgeschrieben und komme so
> auf:
>
> [mm]s_{1}=0
[/mm]
> [mm]s_{2}=0+2=2
[/mm]
> [mm]s_{3}=0+2+5=7
[/mm]
> [mm]s_{4}=0+2+5+9=16
[/mm]
> [mm]s_{5}=0+2+5+9+14=30
[/mm]
> [mm]s_{6}=0+2+5+9+14+20=50
[/mm]
>
> Eigentlich muss ich doch jetzt überlegen wie ich von
> 1 auf 0
> 2 auf 2
> 3 auf 7
> 4 auf 16
> usw komme, oder? Und die Formel die ich dann rausbekomme
> ist meine Summenformel.
Im Prinzip hast du ja Recht, die Frage ist ja nur: wie kommt man darauf?
Und da ist der Ansatz von Hanno genau der Richtige.
Offensichtlich kannst du aber mit dem Summenzeichen noch nicht sehr viel anfangen, deshalb will ich dir das, was Hanno geschrieben hat, in etwas anderer Form, ohne Summenzeichen, wiedergeben:
Du willst also folgendes berechnen:
[mm] $\bruch{3*(3-3)}{2}+\bruch{4*(4-3)}{2}+\bruch{5*(5-3)}{2}+\bruch{6*(6-3)}{2}+...+\bruch{n*(n-3)}{2} [/mm] =$
[mm] $\bruch{3^2-3*3}{2}+\bruch{4^2-3*4}{2}+\bruch{5^2-3*5}{2}+\bruch{6^2-3*6}{2}+...+\bruch{n^2-3*n}{2} [/mm] =$
[mm] $\bruch{1}{2}(3^2-3*3+4^2-3*4+5^2-3*5+6^2-3*6+...+n^2-3*n) [/mm] =$
[mm] $\bruch{1}{2}(3^2+4^2+5^2+6^2+...+n^2-3*3-3*4-3*5-3*6-...-3*n) [/mm] =$
[mm] $\bruch{1}{2}(3^2+4^2+5^2+6^2+...+n^2-3*(3+4+5+6+...+n))$
[/mm]
Jetzt erkennst du, dass du in der Klammer 2 Summenformeln gebrauchen kannst: einmal die Summe aller Quadratzahlen von 3 bis n, und dann auch dis Summe der Zahlen von 3 bis n.
Für die Summe der ersten n Quadratzahlen gilt ja die Formel, wie Hanno geschrieben:
[mm] $\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}$
[/mm]
Für die Summe der ersten n Zahlen hingegen:
[mm] $\bruch{n(n+1)}{2}$
[/mm]
Du musst für deine Anwendung aber beachten, dass dort nur die Summe von 3 beginnend zu berechnen ist, nicht von 1 beginnend! Die Summe der ersten 2 Glieder muss also einfach jeweils noch subtrahiert werden.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Mo 22.11.2004 | | Autor: | nini1709 |
Habs verstanden. Dankeschön!
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