Teilmenge reeller Zahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Fr 20.01.2006 | | Autor: | zombiexl |
| Aufgabe | Für welche Teilmenge der reellen Zahlen gilt:
[mm]\bruch{ |x+2|}{3x} > 4[/mm] ? |
[mm]\bruch{ |x+2|}{3x} > 4[/mm] ?
sicher sollte man dann als erstes die Betragsstriche auflösen und hat dann
zwei Lösungsvarianten. ?
Wie geht es dann aber weiter ? Bestreite ich einen falschen Weg ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo zombie,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Prinzipiell ist Deine Idee völlig richtig mit den Fallunterscheidungen [mm] $x\ge [/mm] -2$ oder $x<-2_$ .
Allerdings würde ich hier zunächst die Ungleichung mit $3*x_$ multiplizieren.
Dabei ist ebenfalls eine Fallunterscheidung vorzunehmen für $x>0_$ und $x<0_$. Schließlich dreht sich bei Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen um.
Insgesamt musst Du hier also drei Intervalle bzw. Fälle untersuchen:
1. $x \ < \ -2$
2. $-2 \ [mm] \le [/mm] \ x \ < \ 0$
3. $0 \ < \ x$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo zombiexl,
> Für welche Teilmenge der reellen Zahlen gilt:
> [mm]\bruch{ |x+2|}{3x} > 4[/mm] ?
Zunächst einmal können wir diese Ungleichung quadrieren:
[mm]\Rightarrow \frac{(x+2)^2}{9x^2} > 16 \Rightarrow x^2+4x+4 > 144x^2 \Rightarrow -143x^2 + 4x + 4 > 0 \Rightarrow x^2 -\frac{4}{143}x - \frac{4}{143} < 0[/mm]
Jetzt faktorisieren wir den linken Term der Ungleichung. Dazu bestimmen wir ihre Nullstellen mit der [mm]p/q\texttt{--Formel}[/mm]:
[mm]x_{0;1} = \frac{2}{143}\pm\sqrt{\frac{4}{143^2}+\frac{4\cdot{143}}{143^2}} = \frac{2}{143}\pm\sqrt{\frac{4\cdot{144}}{143^2}}=\frac{2}{143}\pm\frac{2\cdot{12}}{143}[/mm]
[mm]\Rightarrow x_0 = \frac{2}{143} + \frac{2\cdot{12}}{143} = \frac{2}{11} \vee x_1 = -\frac{2}{13}[/mm]
Damit lautet die faktorisierte Form der Ungleichung:
[mm]\Rightarrow \left(x-\frac{2}{11}\right)\left(x+\frac{2}{13}\right) < 0[/mm]
Jetzt wende ich eine Methode an, die ich mal vor langer Zeit in einem Buch gefunden habe:
"Der Trick ist jetzt alle Nullstellen des linken Polynoms auf dem Zahlenstrahl gemäß ihrer Größe anzuordnen."
Also:
[mm]-\frac{2}{13}<\frac{2}{11}[/mm]
"Dann ziehst du eine Kurve durch die Nustellen wobei du vom Positiven oberen Bereich ausgehst. Keiner der Polynomfaktoren ist quadratisch, demnach findet hier ein Vorzeichenwechsel statt und die Kurve geht vom positiven in den negativen Bereich, und dann wieder zurück."
[Dateianhang nicht öffentlich]
"Da du alle Lösungen" [mm]< 0[/mm] "haben willst, guckst du auf die" negativen "Bereiche und liest einfach ab:"
[mm]-\frac{2}{13} < x < \frac{2}{11}[/mm]
Der einzige Makel bei dieser Art des Lösens ist, daß die Methode offenbar nur auf Polynomungleichungen "zugeschnitten ist". Jedenfalls sind wir hier von keiner "echten" Polynomgleichung ausgegangen (sondern von einer Ungleichung mit Beträgen). Deshalb haben wir uns durch das Quadrieren falsche Lösungen "hinzugedichtet". Diese müssen wir ausschließen. Wenn wir z.B. [mm]0[/mm] in die Ursprungsungleichung einsetzen erhalten wir Unsinn. Setzen wir Zahlen aus [mm]\left(-\frac{2}{13},0\right)[/mm] ein, erhalten wir ebenfalls Unsinn (falsches Vorzeichen). Durch die Methode können wir aber sicher sein, daß die Lösungsmenge der Ungleichung [mm]\mathbb{L} = \left\{x \in \mathbb{R}|x\in\left(0,\frac{2}{11}\right)\right\}[/mm] ist.
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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