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Hallo,
langsam verwandelt sich mein Hirn in Brei von der ganzen Lernerei.
Bitte sagt mir doch, was cos(-x) abgeleitet ist, und vorallem WARUM.
Ich weiss, dass man sin(x) in dem Sinne ableitet, dass die Funktion sich um pi/2 nach links verschiebt.
Ich kenne die Lösungen der Aufgabe, in der f' und f'' gefragt ist.
Aber leider komme ich nicht auf die Erklärung WARUM das so sein soll.
Die haben hier als Lösungen: f'(x)=sin(-x), f'(x)=-sin(x), f''(x)=cos(x)
Meine Idee war, dass man vieleicht die Ableitung so erklären könnte:
f'(x)=cos(-x) = -1(innere Ableitung)*-sin(-x) (äussere Ableitung)
Das würde dann sin(-x) bzw. -sin(x) ergeben, da ja das -x und das Vorzeichen vorne getauscht werden kann, ohne die Kurve zu verändern..wenn ich mich da nicht täusche.
Liege ich da halbwegs richtig?
Ich frage, weil bisher überall nur immer steht das die Ableitung von sin(x) cos(x) usw. ist aber nie genau warum und wie diese Herleitung zustandekommt.
Danke schon mal für alle Hilfe!
Gruss
Sascha
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Hallo!
> Bitte sagt mir doch, was cos(-x) abgeleitet ist, und
> vorallem WARUM.
Na, das hast du doch unten schon stehen!?
> Ich weiss, dass man sin(x) in dem Sinne ableitet, dass die
> Funktion sich um pi/2 nach links verschiebt.
>
> Ich kenne die Lösungen der Aufgabe, in der f' und f''
> gefragt ist.
> Aber leider komme ich nicht auf die Erklärung WARUM das so
> sein soll.
>
> Die haben hier als Lösungen: f'(x)=sin(-x), f'(x)=-sin(x),
> f''(x)=cos(x)
>
> Meine Idee war, dass man vieleicht die Ableitung so
> erklären könnte:
>
> f'(x)=cos(-x) = -1(innere Ableitung)*-sin(-x) (äussere
> Ableitung)
> Das würde dann sin(-x) bzw. -sin(x) ergeben, da ja das -x
> und das Vorzeichen vorne getauscht werden kann, ohne die
> Kurve zu verändern..wenn ich mich da nicht täusche.
>
> Liege ich da halbwegs richtig?
Genau so ist es gemacht. Man leitet doch kompliziertere Funktionen immer mithilfe von Kettenregel oder ähnlichem ab, die Ableitungen von [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] kennst du ja.
> Ich frage, weil bisher überall nur immer steht das die
> Ableitung von sin(x) cos(x) usw. ist aber nie genau warum
> und wie diese Herleitung zustandekommt.
Also, war das jetzt deine Frage?
Ich habe dir mal hier die Herleitung aus Otto Forster, Analysis I eingescannt. Ich hoffe, man kann es lesen. Hilft es dir weiter?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Deine Überlegungen und Ergebnisse sind vollkommen richtig! Was dich nur noch stört, ist, wieso die Ableitung von sin der cos und von cos der -sin ist.
Akzeptier es einfach! Man kann es über sogenannte trigonometrische Theoreme herleiten, wie sie im Anhang von Bastiane vorkommen; aber dann muss man diese herleiten, was auch elementar möglich, aber sehr aufwändig ist.
In der Schule braucht man, nachdem man die Theoreme bewiesen hat, mindestens eine Stunde für die Herleitung von sin(x). Deshalb in Kürze nur:
Die Ableitung gibt ja die Steigung des Graphen an. Da der Sinus periodisch schwankt, muss es seine Ableitung auch. Bei 90 ° hat der Sinus sein Maximum, bei 270 ° sein Minimum, also muss seine Ableitungsfunktion dort 0 sein. Der cos erfüllt diese Anforderungen, ebenso alle Symmetriebedingungen. Besonderheit: Bei x=0 wird cos(0)=1, der sin müsste bei 0 die Steigung 1 haben. Wieso?
Dies funktioniert genau dann, wenn man für x das Bogenmaß wählt, d.h., der Winkel von 360 ° wird durch den Umfang des Kreises mit Radius 1 ersetzt. Somit wird 360° zun 2 pi, 180 ° zu pi und 90° zu ca. 1,57. Wenn man nun den sin in solch ein Koordinatensystem einzeichnet, muss der sin bei 0° genau mit Steigung 1 eingezeichnet werden, also dem Wert von cos(0). Alle anderen Beziehungen ergeben sich aus der Tatsache, dass sin und cos nur gegeneinander verschobene, ansonsten identische Graphen haben.
Gruß
Kw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Krongurke |
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