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| Aufgabe | | Es sei [mm] \xi\in(a,b),f: (a,b)\setminus\{\xi\}\rightarrow \mathbb [/mm] R und [mm] \gamma \in\mathbb [/mm] R Zeigen Sie: [mm] \lim\limits_{x\searrow \xi}f(x)=\gamma=\lim\limits_{x\nearrow \xi}f(x) \Leftrightarrow \lim\limits_{x\to\xi} f(\xi)=\gamma [/mm] |
Ich war an dem Tag nicht in der Vorlesung anwesen, andem ein ähnliches Bsp. gezeigt worden ist. Könnte mir evt. jemand beim Anfang helfen?
Danke im vorraus.
Lg,
Tsetsefliege
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Huhu,
vermutlich soll es heissen:
$ [mm] \lim\limits_{x\searrow \xi}f(x)=\gamma=\lim\limits_{x\nearrow \xi}f(x) \Leftrightarrow \lim\limits_{x\to\xi} f(x)=\gamma [/mm] $
Oder in Worten: Der Grenzwert an der Stelle [mm] \xi [/mm] existiert genau dann, wenn der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert existieren und gleich sind. Dann ist der Grenzwert an der Stelle gleich dem linksseitigen (und rechtsseitigen) Grenzwert.
Dazu: Was heißt [mm] $\lim\limits_{x\to\xi} f(x)=\gamma [/mm] $ denn in Formeln ausgedrückt?
MFG,
Gono.
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Ja, also ich weiß (laut Definition des Grenzwertes einer Funktion), dass f bei der Annäherung an a den linksseitigen Grenzwert (nenne ich jetzt mal A_)besitzt, falls [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] >0:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I (das Intervall) mit [mm] a-\delta
Analog natürlich für den rechtsseitgen.
Ich glaube ich weiß nun wie man es zeigen kann.
=> Folgt aus Definiton des Grenzwertes einer Funktion
<= Ich nehme an, die Grenzwerte existieren und sind gleich einer Zahl A. [mm] \epsilon [/mm] >0 kann ich vorgeben. Und dann existieren die Zahlen [mm] \delta1,\delta2 [/mm] > 0, so dass [mm] \vmat{ f(x)-A}<\epsilon [/mm] für [mm] a-\delta1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Di 15.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Jo, wenn man diese Definition nimmt, geht das so.
Zwei Anmerkungen:
1.) Du hast die Folgepfeile falsch rum, du meintest sie sicher genau andersherum.
2.) Du solltest beim [mm] \delta [/mm] zum Schluß noch erwähnen, dass [mm] \delta [/mm] = [mm] \min(\delta_1,\delta_2) [/mm] ist 
MFG,
Gono.
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