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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Sa 21.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Maßraum [mm] (\IR,\mathcal{B},\lambda) [/mm] sowie eine Folge [mm] (f_n) [/mm] von Funktionen auf [mm] (\IR,\mathcal{B})[/mm] mit
[mm] f_n=1_{[n,n+1]}, n \in \IN [/mm].
1. Weisen Sie nach
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral{f_n d\lambda} \not= \integral{\limes_{n\rightarrow\infty} f_n d\lambda}[/mm]
2. Wieso steht diese Aussage nicht im Widerspruch zum Satz von der majorisierten Konvergenz ? |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich denke Folgendes:
1. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral{f_n d\lambda}=\limes_{n\rightarrow\infty} 1 \cdot \lambda([n,n+1]) = \infty \not= \integral{\limes_{n\rightarrow\infty} f_n d\lambda} = 1 [/mm]
(Oder umgekehrt ? Bin mir da nicht so sicher)
Die Aussage steht nicht im Widerspruch zum Satz von der majorisierten Konvergenz, weil [mm] f_n [/mm] keine konvergente, sondern eine konstante Funktion ist.
Stimmt das ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Gegeben sei ein Maßraum [mm](\IR,\mathcal{B},\lambda)[/mm] sowie
> eine Folge [mm](f_n)[/mm] von Funktionen auf [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] mit
> [mm]f_n=1_{[n,n+1]}, n \in \IN [/mm].
>
> 1. Weisen Sie nach
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral{f_n d\lambda} \not= \integral{\limes_{n\rightarrow\infty} f_n d\lambda}[/mm]
>
> 2. Wieso steht diese Aussage nicht im Widerspruch zum Satz
> von der majorisierten Konvergenz ?
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ich denke Folgendes:
> 1. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral{f_n d\lambda}=\limes_{n\rightarrow\infty} 1 \cdot \lambda([n,n+1]) = \infty \not= \integral{\limes_{n\rightarrow\infty} f_n d\lambda} = 1[/mm]
>
> (Oder umgekehrt ? Bin mir da nicht so sicher)
Die erste Gleichung ist sicher richtig:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral{f_n d\lambda}=\limes_{n\rightarrow\infty} 1 \cdot \lambda([n,n+1]) [/mm]
Aber wieso ist das [mm] $\infty$? [/mm] Was ist denn [mm] $\lambda([n,n+1])$ [/mm] ?
Schreib doch mal auf, wie der Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} f_n$ [/mm] aussieht! Dann wird es dir sicher sofort klar.
> Die Aussage steht nicht im Widerspruch zum Satz von der
> majorisierten Konvergenz, weil [mm]f_n[/mm] keine konvergente,
> sondern eine konstante Funktion ist.
Hmm, was meinst du mit dieser Aussage, die verstehe ich nicht.
Damit mit du den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden kannst, brauchst du erst einmal eine [mm] $\lambda$-integrierbare [/mm] Funktion $g$ mit [mm] $|f_n|\le [/mm] g$ fast überall. Gibt es eine solche Funktion?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Sa 21.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Hilfe !
> > Gegeben sei ein Maßraum [mm](\IR,\mathcal{B},\lambda)[/mm] sowie
> > eine Folge [mm](f_n)[/mm] von Funktionen auf [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] mit
> > [mm]f_n=1_{[n,n+1]}, n \in \IN [/mm].
> >
> > 1. Weisen Sie nach
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral{f_n d\lambda} \not= \integral{\limes_{n\rightarrow\infty} f_n d\lambda}[/mm]
> > Hallo,
> > ich denke Folgendes:
> > 1. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral{f_n d\lambda}=\limes_{n\rightarrow\infty} 1 \cdot \lambda([n,n+1]) = \infty \not= \integral{\limes_{n\rightarrow\infty} f_n d\lambda} = 1[/mm]
>
> >
> > (Oder umgekehrt ? Bin mir da nicht so sicher)
>
> Die erste Gleichung ist sicher richtig:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral{f_n d\lambda}=\limes_{n\rightarrow\infty} 1 \cdot \lambda([n,n+1])[/mm]
>
> Aber wieso ist das [mm]\infty[/mm]? Was ist denn [mm]\lambda([n,n+1])[/mm] ?
Hmm, dann ist das 1 (ich dachte, ich muss die 1'er Intervalle aneinandersetzen)
>
> Schreib doch mal auf, wie der Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n[/mm] aussieht! Dann wird es dir
> sicher sofort klar.
Aber der Grenzwert von [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n[/mm] ist doch auch 1, oder gilt hier: [mm] (\infty+1) - \infty = 0[/mm] ?
> > Die Aussage steht nicht im Widerspruch zum Satz von der
> > majorisierten Konvergenz, weil [mm]f_n[/mm] keine konvergente,
> > sondern eine konstante Funktion ist.
>
> Hmm, was meinst du mit dieser Aussage, die verstehe ich
> nicht.
>
> Damit mit du den Satz von der majorisierten Konvergenz
> anwenden kannst, brauchst du erst einmal eine
> [mm]\lambda[/mm]-integrierbare Funktion [mm]g[/mm] mit [mm]|f_n|\le g[/mm] fast
> überall. Gibt es eine solche Funktion?
Weil [mm] f_n [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] läuft, gibt es keine solche Funktion.
Stimmt es denn jetzt ?
So ganz klar ist mir das Ganze noch nicht, ich denke, die Grenzfunktion von [mm] f_n [/mm] ist f=1, also eine konstante Funktion ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Hallo Rainer,
> vielen Dank für deine Hilfe !
>
> > > Gegeben sei ein Maßraum [mm](\IR,\mathcal{B},\lambda)[/mm] sowie
> > > eine Folge [mm](f_n)[/mm] von Funktionen auf [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] mit
> > > [mm]f_n=1_{[n,n+1]}, n \in \IN [/mm].
> > >
> > > 1. Weisen Sie nach
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral{f_n d\lambda} \not= \integral{\limes_{n\rightarrow\infty} f_n d\lambda}[/mm]
>
> > > Hallo,
> > > ich denke Folgendes:
> > > 1. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral{f_n d\lambda}=\limes_{n\rightarrow\infty} 1 \cdot \lambda([n,n+1]) = \infty \not= \integral{\limes_{n\rightarrow\infty} f_n d\lambda} = 1[/mm]
>
> >
> > >
> > > (Oder umgekehrt ? Bin mir da nicht so sicher)
> >
> > Die erste Gleichung ist sicher richtig:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral{f_n d\lambda}=\limes_{n\rightarrow\infty} 1 \cdot \lambda([n,n+1])[/mm]
>
> >
> > Aber wieso ist das [mm]\infty[/mm]? Was ist denn [mm]\lambda([n,n+1])[/mm] ?
> Hmm, dann ist das 1 (ich dachte, ich muss die 1'er
> Intervalle aneinandersetzen)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > Schreib doch mal auf, wie der Grenzwert
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n[/mm] aussieht! Dann wird es dir
> > sicher sofort klar.
> Aber der Grenzwert von [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n[/mm] ist
> doch auch 1, oder gilt hier: [mm](\infty+1) - \infty = 0[/mm] ?
Schau dir das nochmal genau an. Die Funktion [mm] $f_n$ [/mm] ist nur auf dem Intervall $[n,n+1]$ von 0 verschieden. Nehmen wir uns irgendeinem Punkt x, der liege in irgendeinem Intervall [mm] $[n_0,n_0+1]$. [/mm] Dann ist
[mm] f_n(x) = \begin{cases} 0, & x< n \\ 1, & n\le x \le n+1\\ 0, & x>n+1 \end{cases} [/mm]
Daraus folgt, dass [mm] $f_n(x) [/mm] = 0$ für alle [mm] $n>n_0+1$. [/mm] Was bedeutet das für den Wert $f(x)$ ?
> > > Die Aussage steht nicht im Widerspruch zum Satz von der
> > > majorisierten Konvergenz, weil [mm]f_n[/mm] keine konvergente,
> > > sondern eine konstante Funktion ist.
> >
> > Hmm, was meinst du mit dieser Aussage, die verstehe ich
> > nicht.
> >
> > Damit mit du den Satz von der majorisierten Konvergenz
> > anwenden kannst, brauchst du erst einmal eine
> > [mm]\lambda[/mm]-integrierbare Funktion [mm]g[/mm] mit [mm]|f_n|\le g[/mm] fast
> > überall. Gibt es eine solche Funktion?
> Weil [mm]f_n[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] läuft, gibt es keine solche
> Funktion.
> Stimmt es denn jetzt ?
> So ganz klar ist mir das Ganze noch nicht, ich denke, die
> Grenzfunktion von [mm]f_n[/mm] ist f=1, also eine konstante Funktion
> ?
Auch hier nochmal genauer: Auf dem Intervall $[n,n+1]$ hat [mm] $f_n$ [/mm] den Wert 1. Das heisst, dass auf $[n,n+1]$ gelten muss [mm] $1\le [/mm] g$, und das für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Was folgt also für g (und die Integrierbarkeit von g)?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Sa 21.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine tollen Erklärungen und deine Geduld !
> Schau dir das nochmal genau an. Die Funktion [mm]f_n[/mm] ist nur
> auf dem Intervall [mm][n,n+1][/mm] von 0 verschieden. Nehmen wir uns
> irgendeinem Punkt x, der liege in irgendeinem Intervall
> [mm][n_0,n_0+1][/mm]. Dann ist
>
> [mm]f_n(x) = \begin{cases} 0, & x< n \\ 1, & n\le x \le n+1\\ 0, & x>n+1 \end{cases}[/mm]
>
> Daraus folgt, dass [mm]f_n(x) = 0[/mm] für alle [mm]n>n_0+1[/mm]. Was
> bedeutet das für den Wert [mm]f(x)[/mm] ?
Achso, f(x)=0, weil [mm] f_n(x)=0 [/mm] f.ü.
Danke für die anschauliche Fallunterscheidung !
>
>
> Auch hier nochmal genauer: Auf dem Intervall [mm][n,n+1][/mm] hat
> [mm]f_n[/mm] den Wert 1. Das heisst, dass auf [mm][n,n+1][/mm] gelten muss
> [mm]1\le g[/mm], und das für alle [mm]n\in\IN[/mm]. Was folgt also für g
> (und die Integrierbarkeit von g)?
Hier stehe ich irgendwie auf dem Schlauch.
Wenn [mm] f_n(x) [/mm] nie grösser als 1 wird, gibt es doch unendlich viele integrierbare Funktionen die grösser sind ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Hallo Rainer,
> vielen Dank für deine tollen Erklärungen und deine
> Geduld !
>
> > Schau dir das nochmal genau an. Die Funktion [mm]f_n[/mm] ist nur
> > auf dem Intervall [mm][n,n+1][/mm] von 0 verschieden. Nehmen wir uns
> > irgendeinem Punkt x, der liege in irgendeinem Intervall
> > [mm][n_0,n_0+1][/mm]. Dann ist
> >
> > [mm]f_n(x) = \begin{cases} 0, & x< n \\ 1, & n\le x \le n+1\\ 0, & x>n+1 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Daraus folgt, dass [mm]f_n(x) = 0[/mm] für alle [mm]n>n_0+1[/mm]. Was
> > bedeutet das für den Wert [mm]f(x)[/mm] ?
> Achso, f(x)=0, weil [mm]f_n(x)=0[/mm] f.ü.
Genau!
> Danke für die anschauliche Fallunterscheidung !
> >
> >
> > Auch hier nochmal genauer: Auf dem Intervall [mm][n,n+1][/mm] hat
> > [mm]f_n[/mm] den Wert 1. Das heisst, dass auf [mm][n,n+1][/mm] gelten muss
> > [mm]1\le g[/mm], und das für alle [mm]n\in\IN[/mm]. Was folgt also für g
> > (und die Integrierbarkeit von g)?
>
> Hier stehe ich irgendwie auf dem Schlauch.
> Wenn [mm]f_n(x)[/mm] nie grösser als 1 wird, gibt es doch
> unendlich viele integrierbare Funktionen die grösser sind
> ?
Moment, die Funktion g muss für jedes dieser Intervalle [mm] $\ge [/mm] 1$, also für (fast) alle [mm] $x\ge [/mm] 1$. Ist diese Funktion [mm] $1_{[1,\infty)}$ [/mm] integrierbar?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Sa 21.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer,
tut mir leid, dass ich mich so spät melde - ich wurde leider unterbrochen.
> Moment, die Funktion g muss für jedes dieser Intervalle
> [mm]\ge 1[/mm], also für (fast) alle [mm]x\ge 1[/mm]. Ist diese Funktion
> [mm]1_{[1,\infty)}[/mm] integrierbar?
Nein, wegen der Unendlichkeit.
Vielen vielen Dank für deine Mühe und Geduld.
Liebe Grüsse, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mo 23.11.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Susanne!
> Achso, f(x)=0, weil [mm]f_n(x)=0[/mm] f.ü.
Das gilt nicht, da $[n,n+1]$ keine [mm] $\lambda$-Nullmenge [/mm] ist. Das Argument ist hier die punktweise Konvergenz also:
[mm] $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0\quad(x\in\IR)$
[/mm]
mFg iks
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Do 03.12.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo iks,
vielen Dank für deinen Tipp !!
Ich habe ihn leider erst jetzt gelesen - er ist aber trotzdem sehr lehrreich.
Danke und liebe Grüsse, Susanne.
> > Achso, f(x)=0, weil [mm]f_n(x)=0[/mm] f.ü.
>
> Das gilt nicht, da [mm][n,n+1][/mm] keine [mm]\lambda[/mm]-Nullmenge ist. Das
> Argument ist hier die punktweise Konvergenz also:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0\quad(x\in\IR)[/mm]
>
> mFg iks
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