gleichmäßige stetigkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche a Element von IR ist die Funktion x->1/(x²-a) gleichmäßig stetig auf D={x Element von IR/x²-a ungleich 0}? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich verstehe, dass man hier irgendwas mit den polstellen machen muss, aber reicht es zu sagen: für a > 0 hat die Funktion immer Polstellen und ist somit nicht gleichmäßig stetig? und wie beweise ich, dass die Funktion für a < 0 gleichmäßig stetig ist? ich verstehe das mit dem epsilon und delta in diesem fall nicht. danke schon mal.
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Es ist schon so: wenn [mm]f[/mm] bei [mm]x=\pm \sqrt{a}[/mm] Polstellen hat, dann kann diese Funkion auf [mm]D[/mm] nicht gleichmässig stetig sein: denn bei den Polstellen wird die Steigung der Tangente (der Betrag der Ableitung) immer grösser, so dass schon aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung die Differenz von Funktioneswerten grösser wird, obwohl die Differenz der zugehörigen x-Koordinaten der Punkte des Graphen klein sein mag.
Zum genauen Nachweis: einfach mal den Definitionen und den gegebenen Grössen nachgehen und alles schön hinschreiben.
Also etwa: Damit [mm]f[/mm] auf [mm]D[/mm] gleichmässig stetig ist, müsste es für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]\delta > 0[/mm] geben, so dass für alle [mm]x_1,x_2\in D[/mm] mit [mm]|x_2-x_1|<\delta[/mm] gilt:
[mm]\Big|\frac{1}{x_2^2-a}-\frac{1}{x_1^2-a}\Big| < \varepsilon[/mm]
Nun wird man versuchen, die linke Seite dieser Ungleichung durch einen Term der Form [mm]N\cdot \delta[/mm] nach oben zu begrenzen (wobei [mm]N[/mm] eine von [mm]x_{1,2}[/mm] unabhängige Konstante sein sollte. Falls dies gelingt (und es gelingt nur, falls [mm]a<0[/mm], nicht aber, falls [mm]a\geq 0[/mm] ist), so kann man sagen, dass [mm]\delta := \frac{\varepsilon}{N}[/mm] ein solches, (bei gegebenem [mm]a < 0[/mm] und [mm]\varepsilon>0[/mm]) gleichmässige Stetigkeit garantierendes [mm]\delta > 0[/mm] ist.
Die ersten Umformungsschritte, die Du wohl ganz von alleine auf den abzuschätzenden Betrag anwenden würdest, führen auch schnell auf eine relativ vielversprechende Form:
[mm]\Big|\frac{1}{x_2^2-a}-\frac{1}{x_1^2-a}\Big| = \Big|\frac{x_1+x_2}{(x_2^2-a)(x_1^2-a)}\Big|\cdot |x_2-x_1| < \Big|\frac{x_1+x_2}{(x_2^2-a)(x_1^2-a)}\Big|\cdot \delta [/mm]
Nun müsste man also den verbleibenden, von [mm]x_{1,2}[/mm] (und [mm]a[/mm]) abhängigen Faktor durch eine geeignete Konstante [mm]N[/mm] nach oben begrenzen können...
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