konvergenz von reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Mi 24.11.2004 | | Autor: | tapsi |
ich benötige ganz dringend eure hilfe, kann mir jemand bitte mit dieser aufgabe weiter helfen:
untersuchen sie die reihe auf konvergenz oder divergenz
[mm] \summe_{n=2}^{ \infty} [/mm] ((1/( [mm] \wurzel{n}-1))+(1/( \wurzel{n}+1)))
[/mm]
bitte helft mir
|
|
| |
|
das ist im wesentlichem eine Majorante zu 1/n
|
|
|
| |
|
Man kann doch auch das Wurzelkriterium nehmen und zeigen das der lim sup von [mm] (a_{n})^{1/n} [/mm] 0 ist. Dann ist 0 < 1 und somit konvergent.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
es gilt mit [mm] $a_n=\frac{1}{\wurzel{n}-1}+\frac{1}{\wurzel{n}+1}$:
[/mm]
[mm] $(\star)$[/mm] [m]a_n=|a_n|=\frac{1}{\wurzel{n}-1}+\frac{1}{\wurzel{n}+1}
=2*\frac{\wurzel{n}}{n-1}[/m] [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 2$.
Damit wird [m]\limsup_{n \to \infty}{\wurzel[n]{|a_n|}}=\liminf_{n \to \infty}{\wurzel[n]{|a_n|}}=\lim_{n \to \infty}{\wurzel[n]{|a_n|}}=1[/m] sein und mit dem Wurzelkriterium keine Aussage möglich sein.
Aber es geht folgendes:
Es gilt für jedes $k [mm] \in \IN$, [/mm] $k [mm] \ge [/mm] 2$:
[m]\summe_{n=2}^k{\left(\frac{1}{\wurzel{n}-1}+\frac{1}{\wurzel{n}+1}\right)}[/m]
[m]\stackrel{(\star)}{=}2*\summe_{n=2}^k{\frac{\wurzel{n}}{n-1}}[/m]
[m]=2*\summe_{n=2}^k{\frac{1}{\wurzel{n}-\frac{1}{\wurzel{n}}}}[/m]
[m]\ge 2*\summe_{n=2}^k{\frac{1}{\wurzel{n}}}[/m]
[m]\ge \summe_{n=2}^k{\frac{1}{\wurzel{n}}}[/m]
[m]\ge \summe_{n=2}^k{\frac{1}{n}}[/m]
und daher:
[m]\summe_{n=2}^\infty{\left(\frac{1}{\wurzel{n}-1}+\frac{1}{\wurzel{n}+1}\right)} =\lim_{k \to \infty}{\summe_{n=2}^k{\left(\frac{1}{\wurzel{n}-1}+\frac{1}{\wurzel{n}+1}\right)}}\ge \underbrace{\summe_{n=2}^\infty{\frac{1}{n}}}_{bestimmt\;divergent\;gegen\;\infty}[/m]
Also ist auch:
[m]\summe_{n=2}^\infty{\left(\frac{1}{\wurzel{n}-1}+\frac{1}{\wurzel{n}+1}\right)}[/m] bestimmt divergent gegen [mm] $\infty$ [/mm] (man sagt auch: konvergent gegen [m]\infty[/m]).
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
Nach welchem Kriterium gehst du denn dabei vor?
Ich hätte gedacht, dass die Reihe konvergent ist....
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sunshinenight,
da ich eine divergente Minorante gefunden habe, kann die Reihe nach dem Majorantenkriterium nicht konvergieren.
(Denn: Würde die Reihe [m]\summe_{n=2}^\infty{\left(\frac{1}{\wurzel{n}-1}+\frac{1}{\wurzel{n}+1}\right)}[/m] konvergieren, so wäre sie eine konvergente Majorante für die Reihe [m]\summe_{n=2}^\infty\frac{1}{n}[/m] und damit müßte auch [m]\summe_{n=2}^\infty\frac{1}{n}[/m] konvergent sein. Die Reihe [m]\summe_{n=2}^\infty\frac{1}{n}[/m] ist aber bestimmt divergent gegen [mm] $\infty$.)
[/mm]
Die Abschätzungen, die ich gemacht habe, sind alle ziemlich banal. Verstehst du eine davon nicht?
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
|
