lineare Abbildung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Do 17.06.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo zusammen^^
Für lineare Abbildungen gilt der Satz:"Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der Einheitsvektoren".
Ich verstehe aber nicht warum der Satz gilt.Wie kann man das beweisen oder sich anschaulich klar machen?
Vielen Dank
lg
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> Hallo zusammen^^
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> Für lineare Abbildungen gilt der Satz:"Die Spalten der
> Abbildungsmatrix sind die Bilder der Einheitsvektoren".
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> Ich verstehe aber nicht warum der Satz gilt.Wie kann man
> das beweisen oder sich anschaulich klar machen?
>
Hallo,
ich hoffe, daß ich mit meinen Erklärungen Deine Frage treffe.
Nehmen wir die lineare Abbildung [mm] f:\IR^3\to \IR^2,
[/mm]
welche definiert ist durch
[mm] f(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{x+2y+z\\4x+5y}
[/mm]
Es ist [mm] \vektor{x+2y+z\\4x+5y}=\pmat{1&2&1\\4&5&0}*\vektor{x\\y\\z}.
[/mm]
[mm] \pmat{1&2&1\\4&5&0} [/mm] ist die Darstellungsmatrix von f.
Überzeuge Dich nun davon, daß in den Spalten die Bilder der Basisvektoren stehen.
Meintest Du sowas?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Do 17.06.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Hallo zusammen^^
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> > Für lineare Abbildungen gilt der Satz:"Die Spalten der
> > Abbildungsmatrix sind die Bilder der Einheitsvektoren".
> >
> > Ich verstehe aber nicht warum der Satz gilt.Wie kann man
> > das beweisen oder sich anschaulich klar machen?
> >
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> Hallo,
>
> ich hoffe, daß ich mit meinen Erklärungen Deine Frage
> treffe.
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> Nehmen wir die lineare Abbildung [mm]f:\IR^3\to \IR^2,[/mm]
>
> welche definiert ist durch
>
> [mm]f(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{x+2y+z\\4x+5y}[/mm]
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> Es ist
> [mm]\vektor{x+2y+z\\4x+5y}=\pmat{1&2&1\\4&5&0}*\vektor{x\\y\\z}.[/mm]
>
> [mm]\pmat{1&2&1\\4&5&0}[/mm] ist die Darstellungsmatrix von f.
>
> Überzeuge Dich nun davon, daß in den Spalten die Bilder
> der Basisvektoren stehen.
>
> Meintest Du sowas?
>
Nicht ganz.Ich gebe mal ein Beispiel.
Also betrachtet wird eine lineare Abbildung ,welche eine orthogonale Spiegelung an der Ebene E x-y=0 bewirkt.
Aufgabe: Stelle die Abbildungsmatrix A auf.
So,jetzt würde ich einfach die Bilder der drei Basisvektoren ausrechnen (mit lotfußpunktverfahren) und diese Bilder als Spalten der Abbildungsmatrix aufschreiben,womit ich meine Matrix hätte.Das darf ich machen,da der obige Satz dies besagt.
Meine Frage ist jetzt,warum die Bilder Basisvektoren immer die Spalten der Abbildungsmatrix ergeben?Oder wie kann man das beweisen?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Do 17.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Nehmen wir eine beliebige Matrix A.
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
Einen Basisvektor, Einheitsvektor B = [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] A*\vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3}, [/mm] was gleich der Spalte der Matrix ist.
Meinst du das?
Gruss
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 17.06.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
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> Nehmen wir eine beliebige Matrix A.
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> A = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm]
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> Einen Basisvektor, Einheitsvektor B = [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]A*\vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 3},[/mm] was gleich der Spalte
> der Matrix ist.
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> Meinst du das?
>
Genau das mein ich,wie kann man nachweisen,dass es immer so ist?
lg
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Moin,
ich hab' beim Aufschreiben des Beweises nun eine Weile gebraucht, weil ich jedes mal die Indizes ändern musste/wollte usw usw und jetzt muss ich gleich weg. Das wäre am Ende wahrscheinlich eh nichts schönes geworden, so wie ich das letztlich aufgeschrieben hab.
Zum Beweis: Mach dich mit der Definition der Matrixmultiplikation vertraut, dann kommst du relativ schnell drauf, warum dieser Satz gilt.
Nur soviel: Eine $\ [mm] m\times [/mm] n $-Matrix multipliziert mit einem Spaltenvektor (= $\ n [mm] \times [/mm] 1$-Matrix) ergibt einen Spaltenvektor (= $\ m [mm] \times [/mm] 1 $-Matrix).
Grüße
ChopSuey
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Hallo,
wenn A die Darstellungsmatrix einer Abbildung f ist, dann ist ja f(x)=Ax.
Wir machen es jetzt mal nicht ganz allgemein:
Wir nehmen eine Abbildung [mm] f:\IR^3\to \IR^2 [/mm] mit der Darstellungsmatrix A:=$ [mm] \pmat{a_1_1&a_1_2&a_1_3\\a_2_1&a_2_2&a_2_3}$
[/mm]
Nun schau nach, was rauskommt, wenn Du [mm] f(e_i)=Ae_i [/mm] berechnest: die i-te Spalte.
Und allgemein für [mm] n\times [/mm] m-Matrizen geht's genauso.
Gruß v. Angela
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