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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mo 02.05.2005 | | Autor: | asudau |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
es geht um eine aufgabe von meinem uni-aufgabenzettel:
zwei spieler würfeln abwechselnd. der erste mit zwei würfeln er hat bei augensumme 10 erfolg. der zweite mit 1 würfel er hat bei 6 erfolg. der spieler der als erster erfolg hat gewinnt.
wie groß ist die wahrscheinlichkeit, dass spieler 1 gewinnt?
- ich habe mir überlegt, dass die wahrscheinlichkeit für spieler 2 = 1/6 ist
- und die für spieler 1 = 2/21 (wenn man die reihenfolge der zahlen nicht berücksichtigt (1,2=2,1) gibt es 21 mögliche kombinationen und 2 davon (4,6;5,5) ergeben 10).
aber was mache ich jetzt mit diesen wahrscheinlichkeiten? welche formel/n benutzt man in so einem fall?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Wahrscheinlichkeit, das Spieler $1$ genau im $i$-ten Zug gewinnt, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass bis einschließlich zum $(i-1)$-ten Zug beide Misserfolge haben und dann genau im $i$-ten Zug Spieler 1 eine 10 würfelt (als Augensumme).
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist für $i [mm] \ge [/mm] 1$:
[mm] $p_i [/mm] = [mm] \left( \frac{33}{36} \right)^{i-1} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{i-1} \cdot \frac{3}{36}$.
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler überhaupt gewinnt, ist daher:
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i$.
[/mm]
Schaffst du das auszurechnen? Hast du Fragen dazu, wie ich auf [mm] $p_i$ [/mm] gekommen bin oder ist es jetzt klar?
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 02.05.2005 | | Autor: | asudau |
erstmal danke, das leuchtet mir sogar alles ein (aus der 36 schließe ich, dass die reihenfolge bei zwei würfeln doch eine rolle spielt)
aber eins noch, seh ich das richtig, dass ich den grenzwert der Reihe bestimmen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Di 03.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, das ist richtig, du musst jetzt mit Hilfe der geometrischen Reihe den Grenzwert der Reihe berechnen.
Es gilt aber:
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty} \left( \frac{33}{36} \right)^{i-1} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{i-1} \cdot \frac{3}{36} [/mm] = [mm] \frac{3}{36} \cdot \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( \frac{33 \cdot 5}{36 \cdot 6} \right)^i [/mm] = [mm] \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{1-\frac{55}{72}} [/mm] = [mm] \frac{1}{12} \cdot \frac{72}{17} [/mm] = [mm] \frac{6}{17}$.
[/mm]
Kurz zur Kontrolle/Probe das Gegenereignis:
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty} \left( \frac{33}{36} \right)^{i-1} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{i-1} \cdot \frac{33}{36} \cdot \frac{1}{6} [/mm] = [mm] \frac{33}{36}\cdot \frac{1}{6} \cdot \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( \frac{33 \cdot 5}{36 \cdot 6} \right)^i [/mm] = [mm] \frac{11}{72} \cdot \frac{1}{1-\frac{55}{72}} [/mm] = [mm] \frac{11}{72} \cdot \frac{72}{17} [/mm] = [mm] \frac{11}{17}$.
[/mm]
Klingt plausibel, oder? 
Viele Grüße
Julius
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laut Baumdiagramm gibt es 36 verschiedene Kombinationen, von denen 3 sich als wahr erweisen (4,6 ; 5,5 ; 6,4)
![[]](/images/popup.gif) http://abi-winsen.de/baum1.JPG
Es ergibt sich also eine Chance von [mm] \bruch{3}{36} [/mm] = [mm] \bruch{1}{12} [/mm] , dass Spieler 1 die Augensumme 10 erziehlt.
Spieler 2 hat natürlich eine Chance von [mm] \bruch{1}{6}. [/mm] (1 positive / 6 mögliche)
Nun soll Spieler 1 beginnen.
Beim ersten Wurf (Sp1) ist die Chance [mm] \bruch{1}{12}
[/mm]
Beim zweiten (Sp2) 11/12 * 1/6 = 15%
Beim dritten (Sp1) 11/12 * 5/6 * 1/12 = 6%
Wie du im folgenden Baum erkennen kannst, lässt sich das Spiel beliebig lange fortführen, denn für den Wurf n mit n->unendlich folgt erst eine wahrscheinlichkeit von gegen 1, dass gewonnen wurde.
http://abi-winsen.de/baum2.JPG
Desshalb musst du den Grenzwert bestimmen, um auf ein Ergebnis kommen zu können.
Gruß
Daniel
PS: Wie kann ich hier selber Dateianhänge im Forum hochladen und diese in meine Antwort einfügen?
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![[]](http://abi-winsen.de/baum1.JPG){kind=small}
http://abi-winsen.de/baum1.JPG![[]](http://abi-winsen.de/baum2.JPG){kind=small}
http://abi-winsen.de/baum2.JPG