Benutzer:tobit09/Beweis-Anleitung Beispiel-Teilmenge2

Wie führe ich einen Beweis?

a) Teilmengenbeziehung 1 5. Beispiele c) Gleichheit von Mengen

5. Beispiele

b) Teilmengenbeziehung 2

Aufgabe:

Seien und Mengen. Zeigen Sie, dass dann gilt.

Vorbereitung des Beweises:

Voraussetzungen:

Keine speziellen.

Behauptung:

Dabei ist

    .

und

    .

Rahmen des Beweises:

Zu zeigen ist also eine Teilmengenbeziehung. Punkt i) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir betrachten ein beliebig vorgegebenes Element und zeigen unter der zusätzlichen Voraussetzung die Aussage .

bedeutet, dass oder . Zu zeigen ist also diese "oder"-Aussage. Punkt b) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir müssen eine Fallunterscheidung nach gewissen Fällen und durchführen, für die als wahr bekannt ist. Dann zeigen wir, dass aus die Aussage und aus die Aussage folgt. Letzteres bedeutet die "und"-Aussage und . Punkt a) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was dafür zu tun ist: Nacheinander und zeigen.

Somit ergibt sich folgender Beweisrahmen:

Zu zeigen ist, dass gilt.
Sei also .
Zu zeigen ist, dass gilt, d.h. dass oder gilt.
...
Hauptteil
(1. Fall: . Zeigen, dass in diesem Fall .)
(2. Fall: . Zeigen, dass in diesem Fall , d.h. und .)
...
Somit gilt in jedem Fall oder , also .
Da beliebig war, folgt .

Hauptteil des Beweises:

Außer haben wir im Hauptteil keine besonderen Voraussetzungen zur Verfügung. Insbesondere haben wir keine Aussage der Form als Voraussetzung, die uns eine passende Fallunterscheidung nahelegen würde. Probieren wir also mal den zweiten Vorschlag in Punkt b) unter 3. Wie zeige ich...? aus, um passende Aussagen und zu finden: Wir unterscheiden nach und .

Im Falle ist zu folgern, wofür nichts zu tun ist. Im Falle wollen wir auf und schließen. Da wir mit der Annahme gestartet waren und nun im Fall sind, gilt dies tatsächlich.

Fertiger Beweis:

Zu zeigen ist, dass gilt.
Sei also .
Zu zeigen ist, dass gilt, d.h. dass oder gilt.

1. Fall: . In diesem Fall ist für nichts zu zeigen.
2. Fall: . In diesem Fall haben wir und , also .

Somit gilt in jedem Fall oder , also .
Da beliebig war, folgt .