1-Form integrieren < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
Es sei [mm]\omega[/mm] die 1-Form auf [mm]\IR^2\ \{(0,0)}[/mm] definiert durch:
[mm]\omega = \frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy[/mm]
Ich soll das Integral [mm]\int_{C} \omega[/mm] für einen beliebigen Kreis mit Radius r bilden.
Nun würde ich einfach [mm]\omega[/mm] einsetzen:
[mm]\int_{C} \frac{-y}{x^2+y^2}dx + \int_{C} \frac{x}{x^2+y^2}dy[/mm]
Wie muss ich dann weiter vorgehen?
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 So 18.04.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
jetzt kannst du doch den Kreis parametrisieren mit Hilfe eines Winkels, und das dann in die Parametrisierung einsetzen, wo man dann letztendlich ueber den Winkel von $0$ bis [mm] $2\pi$ [/mm] integriert. Dazu muss man dann das Differential [mm] $\mathrm{d}x$ [/mm] und [mm] $\mathrm{d}y$ [/mm] auch umschreiben.
LG
Kroni
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Hi Kroni,
danke für deine Antwort, ok, ich nehme als Parametrisierung die Polarkoordinaten:
[mm]\int_{C} \frac{- sin(t)}{r}dx + \int_{C} \frac{cos(t)}{r}dy[/mm]
Und das folgt zu:
[mm]\int_{C} sin^2(t)dt + \int_{C} cos^2(t)dt[/mm]
Kann ich das nun einfach ausrechnen? Was mich irritiert ist, das C ja eigentlich ne Fläche ist und ich aber kein Flächenintegral ausrechne.
Danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 So 18.04.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du dich nicht verrechnet hast, geht das so, ja.
Wer sagt, dass [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] ne Flaeche sein soll? Wenn man ueber eine 1-Form integriert, ists doch 'natuerlich', ueber einen Weg [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] zu integrieren. Wenn man ueber eine Flaeche im [mm] $\mathbb R^2$ [/mm] integrieren, so braucht man doch eine $2$-Form.
Achso, hier noch ein bisschen was zur $1$-Form:
![[]](/images/popup.gif) Pfaff'sche Form
LG
Kroni
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