1-Norm auf C[a,b] und R[a,b] < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Do 14.08.2014 | | Autor: | drossel |
Hallo
ich habe wieder mal eine Verständnisfrage.
Wenn ich die Menge der stetigen Funktionen auf einem reellen Intervall [a,b] zb betrachte, also C([a,b]), dann ist dieser als Vektorraum ausgestattet mit der Norm [mm] \|f\|_1=\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm] ein normierter Vektorraum steht in meinem Skript. Stattet man R([a,b]), den Vektorraum der Riemann-integrierbaren rellen Funktionen auf [a,b], mit dieser "1-Norm" aus, dann ist dieser kein normierter Vektorraum. Das wollte ich besser verstehen.
Das Problem soll sein, wenn [mm] \|f\|_1=\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm] =0, folgt im Allgemeinen nicht, dass f(x)=0 für alle x aus [a,b] [mm] (\star [/mm] )
Ich kenne die Aufgabe, dass gilt: Wenn [mm] f:[a,b]\to\mathbb{R} [/mm] stetig und [mm] f(x)\ge [/mm] 0 für alle x aus [a,b] und [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] =0, dann ist f(x)=0 für alle x aus [a,b].
Sagt uns die Aufgabe, dass auf C([a,b]) [mm] (\star [/mm] ) gilt? Denn die Funktionen [mm] f\in [/mm] C([a,b]) können ja Werte <0 annehmen, wird das aber korrigiert, da im Integral über |f(x)| integriert wird?
Und bezüglich R([a,b]), was kann man denn da für eine Funktion nehmen die Riemann-integrabel ist und [mm] (\star [/mm] ) nicht erfüllt, so eine hier:
zb a=0, b=2
[mm] f:[0,2]\to\mathbb{R} [/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] ? Diese hat nur eine Unstetigkeitsstelle und ist beschränkt, also Riemann-Integrierbar.
Lg
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> Hallo
> ich habe wieder mal eine Verständnisfrage.
> Wenn ich die Menge der stetigen Funktionen auf einem
> reellen Intervall [a,b] zb betrachte, also C([a,b]), dann
> ist dieser als Vektorraum ausgestattet mit der Norm
> [mm]\|f\|_1=\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}[/mm] ein normierter
> Vektorraum steht in meinem Skript. Stattet man R([a,b]),
> den Vektorraum der Riemann-integrierbaren rellen Funktionen
> auf [a,b], mit dieser "1-Norm" aus, dann ist dieser kein
> normierter Vektorraum. Das wollte ich besser verstehen.
>
> Das Problem soll sein, wenn
> [mm]\|f\|_1=\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}[/mm] =0, folgt im
> Allgemeinen nicht, dass f(x)=0 für alle x aus [a,b] [mm](\star[/mm]
> )
>
> Ich kenne die Aufgabe, dass gilt: Wenn [mm]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/mm]
> stetig und [mm]f(x)\ge[/mm] 0 für alle x aus [a,b] und
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] =0, dann ist f(x)=0 für alle x
> aus [a,b].
>
> Sagt uns die Aufgabe, dass auf C([a,b]) [mm](\star[/mm] ) gilt?
Das sagt uns zwar nicht diese Aufgabe, aber es stimmt.
> Denn
> die Funktionen [mm]f\in[/mm] C([a,b]) können ja Werte <0 annehmen,
> wird das aber korrigiert, da im Integral über |f(x)|
> integriert wird?
Ja.
> Und bezüglich R([a,b]), was kann man denn da für eine
> Funktion nehmen die Riemann-integrabel ist und [mm](\star[/mm] )
> nicht erfüllt, so eine hier:
> zb a=0, b=2
> [mm]f:[0,2]\to\mathbb{R}[/mm]
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
> ? Diese hat nur eine Unstetigkeitsstelle und ist
> beschränkt, also Riemann-Integrierbar.
>
> Lg
Hallo drossel,
ja, die Stetigkeitsbedingung ist das Entscheidende. Wenn man
nur Riemann-Integrierbarkeit fordert, aber keine Stetigkeit,
so kann man viele Funktionen angeben, für die das angegebene
Integral verschwindet, obwohl das die Funktion selber nicht
überall tut. Anstelle einer Funktion, die nur an einer einzigen
Stelle des Intervalls [a,b] nicht gleich 0 ist, kannst du beliebige
auf [a,b] definierte Funktionen nehmen, die fast überall gleich
0 sind, außer an endlich vielen oder sogar abzählbar unendlich
vielen Stellen.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Do 14.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> ich habe wieder mal eine Verständnisfrage.
> Wenn ich die Menge der stetigen Funktionen auf einem
> reellen Intervall [a,b] zb betrachte, also C([a,b]), dann
> ist dieser als Vektorraum ausgestattet mit der Norm
> [mm]\|f\|_1=\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}[/mm] ein normierter
> Vektorraum steht in meinem Skript. Stattet man R([a,b]),
> den Vektorraum der Riemann-integrierbaren rellen Funktionen
> auf [a,b], mit dieser "1-Norm" aus, dann ist dieser kein
> normierter Vektorraum. Das wollte ich besser verstehen.
>
> Das Problem soll sein, wenn
> [mm]\|f\|_1=\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}[/mm] =0, folgt im
> Allgemeinen nicht, dass f(x)=0 für alle x aus [a,b] [mm](\star[/mm] )
Du hast auf $R([a,b])$ zwar aus den bereits genannten Gründen keine Norm,
aber immerhin eine Halbnorm. (Siehe auch:
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-kiel.de/analysis/mueller/inhalte/WS12-13/analIII.pdf, Seite 7.)
Insbesondere beachte Kapitel 3.
Das ganze Konzept für [mm] $L^1$-Funktionen [/mm] wird in Kapitel 7 hochgezogen.
Insbesondere sollte man die Vollständigkeit dabei beachten!
Ergänzend sei noch gesagt, dass $C[a,b]$ mit der [mm] $L^1$-Norm [/mm] nicht vollständig
ist. Auch nicht $R[a,b]$ mit der [mm] $L^1$-Halbnorm [/mm] - das kann man gut im Funktional-
Analysis-Buch von Dirk Werner nachschlagen! (Den Beweis dort finde ich
elementarer als den aus obigem Skript.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Do 14.08.2014 | | Autor: | drossel |
Achso, ok! Danke für eure Antworten.
Aber ich stelle mir den Beweis, dass für [mm] f\in [/mm] C([a,b])gilt, dass wenn [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}=0 [/mm] ist, dann f(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] [a,b], analog vor, wie man die Aufgabe aus meinem Startpost löst. Also per Widerspruch, dass man annimmt, dass f an einer Stelle ungleich 0 ist und aus Stetigkeitsgründen auch in einer Umgebung.. usw. und den Widerspruch zu Integral=0 bekommt.
Diese Hüllreihen aus dem Skript sehen aus wie Treppenfunktionen, nur dass das Reihen statt endliche Summen dabei sind. Danke für den Link, ist hilfreich das zu lesen für das Gesamtverständnis.
Danke euch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Fr 15.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Achso, ok! Danke für eure Antworten.
>
> Aber ich stelle mir den Beweis, dass für [mm]f\in[/mm]
> C([a,b])gilt, dass wenn [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}=0[/mm] ist,
> dann f(x)=0 für alle [mm]x\in[/mm] [a,b], analog vor, wie man die
> Aufgabe aus meinem Startpost löst. Also per Widerspruch,
> dass man annimmt, dass f an einer Stelle ungleich 0 ist und
> aus Stetigkeitsgründen auch in einer Umgebung.. usw. und
> den Widerspruch zu Integral=0 bekommt.
Du kannst doch einfach den Satz als Argument dafür hernehmen: Wenn
[mm] $f\,$ [/mm] auf $ [a,b]$ stetig ist, dann auch [mm] $|f|\,.$ [/mm] Also folgt aus
[mm] $\int_a^b [/mm] |f(x)|dx=0$
schon $|f(x)|=0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b].$ Das hat aber $f(x) [mm] \equiv [/mm] 0$ zur Konsequenz.
Ansonsten kannst Du natürlich auch den Beweis nochmal nachahmen, aber
im Endeffekt machst Du dann ja nichts anderes als in dem Beweis des von
Dir zitierten Satzes.
> Diese Hüllreihen aus dem Skript sehen aus wie
> Treppenfunktionen, nur dass das Reihen statt endliche
> Summen dabei sind. Danke für den Link, ist hilfreich das
> zu lesen für das Gesamtverständnis.
Soweit ich gerade aus dem Gedächtnis auf das Skript zurückgreife, macht
man dort doch die Hüllreihen, um Lebesgue-Integrale einzuführen. Das
Schöne ist:
[mm] $(L^1[a,b],\|.\|_{1,[a,b]})$
[/mm]
ist vollständiger normierter Raum ($[f] [mm] \in L^1[a,b]$ [/mm] ist eine Äquivalenzklasse mit
einem Repräsentanten $f [mm] \in \mathcal{L}^1[a,b]$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Fr 15.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend das Lebesguesche Integrabilitätskriterium:
Sei $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion. Dann sind äquivalent:
(1) $f$ ist R-integrierbar über $[a,b]$.
(2) $f$ ist beschränkt und fast überall stetig auf $[a,b].$
FRED
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