1.Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Di 11.09.2007 | | Autor: | Karlchen |
| Aufgabe | | gegeben: [mm] f(x)=\wurzel{25-x^{2}} [/mm] |
guten Abend^^
ich habe die produktregel verwendet mit
[mm] v(x)=25-x^{2} u(x)=\wurzel{x}
[/mm]
v'(x)=-2x [mm] u'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}*(25-x^{2}) [/mm] + [mm] \wurzel{x}*(-2x)
[/mm]
= [mm] \bruch{(25-x^{2})-2x\wurzel{x}}{2\wurzel{x}}
[/mm]
das dann mit [mm] 2\wurzel{x} [/mm] erweitern
[mm] 50\wurzel{x}-2x^{2}\wurzel{x}-4x^{2}
[/mm]
ist das bis hier richtig?
wenn ja, kann ich das noch weiter vereinfachen?
wenn nicht, bitte sagt mir wo mein fehler ist. Ich bin echt am verzweifeln mit den ganzen wurzelgleichungen!
liebe grüße Karlchen
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Hallo, diese Aufgabe ist ein klassischer Fall für die Kettenregel
[mm] f(x)=\wurzel{25-x^{2}}=(25-x^{2})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
berechne jetzt äußere Ableitung mal innere Ableitung
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Di 11.09.2007 | | Autor: | Karlchen |
dann erhalte ich für v'(x)=-2x und [mm] u'(x)=\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}*(-2x)
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{x^{1,5}}
[/mm]
sieht für mich aber auch nicht ganz richtig aus, was habe ich falsch gemacht?
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Hallo, die Funktionen u und v brauchst du hier nicht
leiten wir zunächst mal [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] nach der Potenzregel ab, du erhälst [mm] \bruch{1}{2}*x^{\bruch{1}{2}-1}=\bruch{1}{2}*x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
jetzt schreibe für dein x einfach [mm] 25-x^{2} [/mm] somit hast du die äußere Ableitung
in der Klammer steht [mm] 25-x^{2} [/mm] das jetzt ableiten somit hast du die innere Ableitung
laut Kettenregel äußere Ableitung mal innere ableitung, jetzt schaffst du es
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 11.09.2007 | | Autor: | Karlchen |
danke ers ma für deine mühe, nur habe ich das immer noch nicht so ganz verstanden.
also wenn ich für x [mm] 25-x^{2} [/mm] einsetze habe ich
[mm] \bruch{1}{2}*(25-x^{2})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
soll ich das jez einfach nur, was in der klammer steht ableiten, oder wie meinst du das?
dann hätte ich
[mm] \bruch{1}{2}*(-2x)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
und das wäre ja
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{(-2x)^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
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Hallo,
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(25-x^{2})^{-\bruch{1}{2}} [/mm] sieht gut aus, jetzt die Ableitung von [mm] 25-x^{2} [/mm] ergibt -2x
beide Ableitungen multiplizieren: [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(25-x^{2})^{-\bruch{1}{2}}*(-2x)
[/mm]
jetzt überlege dir:
- du hast einen negativen Exponenten, was passiert
- schreibe den Exponenten wieder als Wurzel
- was kannst du noch kürzen
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Di 11.09.2007 | | Autor: | Karlchen |
also ich hab dann jez [mm] -\bruch{x}{(\wurzel{25-x^{2}})^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
kann man das denn noch weiter kürzen?
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Hallo Karlchen,
> also ich hab dann jez
> [mm]-\bruch{x}{(\wurzel{25-x^{2}})^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
Da haste aber was zuviel im Nenner, es ist doch [mm] $(25-x^2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{(25-x^2)^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$
[/mm]
Der Rest stimmt aber und kann nicht weiter vereinfacht werden
> kann man das denn noch weiter kürzen?
nein
LG
schachuzipus
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