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Forum "Differentiation" - 1. Ableitung
1. Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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1. Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Fr 10.02.2012
Autor: mbau16

Aufgabe
Ermitteln Sie die erste Ableitung folgender Funktion:

[mm] f(x)=e^{-x}cos^{2}(\wurzel(x))+sin^{2}(3x)+x [/mm]

Hallo,

ich bin es nochmal. Würde Euch gerne diese Aufgabe vorrechnen und mal Eure Meinung einholen.


[mm] f(x)=e^{-x}cos^{2}(\wurzel(x))+sin^{2}(3x)+x [/mm]

Teile die Aufgabe auf.

[mm] f(x_{1})=e^{-x}cos^{2}(\wurzel(x)) [/mm]

[mm] u=e^{-x} [/mm]

[mm] u'=-e^{-x} [/mm]

[mm] v=cos^{2}(\wurzel{x}) [/mm]

[mm] v'=-2cos(\wurzel{x})sin(\wurzel{x})*\bruch{1}{2\wurzel(x)} [/mm]

[mm] v'=\bruch{-cos(\wurzel{x})sin(\wurzel{x})}{(\wurzel{x})} [/mm]

[mm] f'(x_{1})=-e^{-x}*cos^{2}(\wurzel{x})+e^{-x}*\bruch{-cos(\wurzel{x})sin(\wurzel{x})}{(\wurzel{x})} [/mm]

[mm] f(x_{2})=sin^{2}(3x) [/mm]

[mm] f'(x_{2})=2sin(3x)*3cos(3x) [/mm]

Bin damit nicht zufrieden, wie vereinfache ich 2sin(3x)*3cos(3x) weiter? Habe gelesen das die Lösung 3sin(6x) sein soll???

[mm] f(x_{3})=x [/mm]

[mm] f(x_{3})=1 [/mm]

[mm] f'(x)=f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3}) [/mm]

[mm] f'(x)=-e^{-x}*cos^{2}(\wurzel{x})+e^{-x}*\bruch{-cos(\wurzel{x})sin(\wurzel{x})}{(\wurzel{x})}+2sin(3x)*3cos(3x)+1 [/mm]

So, wie ist die Meinung?

Vielen Dank

Gruß

mbau16

        
Bezug
1. Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Fr 10.02.2012
Autor: schachuzipus

Hallo mbau16,


> Ermitteln Sie die erste Ableitung folgender Funktion:
>  
> [mm]f(x)=e^{-x}cos^{2}(\wurzel(x))+sin^{2}(3x)+x[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich bin es nochmal. Würde Euch gerne diese Aufgabe
> vorrechnen und mal Eure Meinung einholen.
>  
>
> [mm]f(x)=e^{-x}cos^{2}(\wurzel(x))+sin^{2}(3x)+x[/mm]
>  
> Teile die Aufgabe auf.

Das ist eine gute Idee!

>  
> [mm]f(x_{1})=e^{-x}cos^{2}(\wurzel(x))[/mm]

Du meinst [mm]f_1(x)[/mm] ;-)

>  
> [mm]u=e^{-x}[/mm]
>  
> [mm]u'=-e^{-x}[/mm] [ok]
>  
> [mm]v=cos^{2}(\wurzel{x})[/mm]
>  
> [mm]v'=-2cos(\wurzel{x})sin(\wurzel{x})*\bruch{1}{2\wurzel(x)}[/mm] [ok]

Das kannst du auch schreiben als [mm]-\frac{\sin(2\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}[/mm] (Additionstheoreme! Siehe unten zu [mm]f_2'(x)[/mm])

>  
> [mm]v'=\bruch{-cos(\wurzel{x})sin(\wurzel{x})}{(\wurzel{x})}[/mm] [ok]
>  
> [mm]f'(x_{1})=-e^{-x}*cos^{2}(\wurzel{x})+e^{-x}*\bruch{-cos(\wurzel{x})sin(\wurzel{x})}{(\wurzel{x})}[/mm] [ok]
>  
> [mm]f(x_{2})=sin^{2}(3x)[/mm]
>  
> [mm]f'(x_{2})=2sin(3x)*3cos(3x)[/mm] [ok]
>  
> Bin damit nicht zufrieden, wie vereinfache ich
> 2sin(3x)*3cos(3x) weiter? Habe gelesen das die Lösung
> 3sin(6x) sein soll???

Ja, mit Additionstheoremen (Halbwinkelsatz)

[mm]\sin(2z)=2\sin(z)\cos(z)[/mm] ...

>  
> [mm]f(x_{3})=x[/mm]
>  
> [mm]f(x_{3})=1[/mm] [ok]
>  
> [mm]f'(x)=f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})[/mm]
>  
> [mm]f'(x)=-e^{-x}*cos^{2}(\wurzel{x})+e^{-x}*\bruch{-cos(\wurzel{x})sin(\wurzel{x})}{(\wurzel{x})}+2sin(3x)*3cos(3x)+1[/mm] [ok]
>  
> So, wie ist die Meinung?

Das hast du gut und richtig gerechnet, kannst aber "kosmetisch" noch etwas vereinfachen ...

>  
> Vielen Dank
>  
> Gruß
>  
> mbau16
>  

Gruß

schachuzipus

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