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| Aufgabe | Definition:
Sei [mm] $f:U\to\IR [/mm] $ ein Flächenstück und [mm] $(x^{1},x^{2}) \in [/mm] U$. Die Abbildung
$I: [mm] \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} \to \IR$ [/mm] mit $ [mm] I_{(x^{1},x^{2})}(u,v) [/mm] = [mm] <(df)_{(x^{1},x^{2})}(u),(df)_{(x^{1},x^{2})}(v)>$ [/mm] heißt die erste Fundamentalform von f. |
Also ich beherrsche bisher nur die Matrixschreibweise der 1. Fundamentalform:
$I = [mm] \pmat{ g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} }$
[/mm]
mit [mm] $g_{ij} [/mm] = [mm] <\frac{\delta f}{\delta x^{i}},\frac{\delta f}{\delta x^{j}}>$ [/mm] wobei [mm] $\frac{\delta f}{\delta x^{i}} [/mm] $ die Ableitung von f nach der i-ten Komponente ist (In unserem Fall hat f immer nur zwei Komponenten).
Außerdem gilt [mm] $g_{12}=g_{21}$.
[/mm]
Meine Frage ist, wie [mm] $I_{(x^{1},x^{2})}(u,v)$ [/mm] (siehe Definition) aussieht.
Ich verstehe nicht, was [mm] $(df)_{(x^{1},x^{2})}(u)$ [/mm] bzw. [mm] $(df)_{(x^{1},x^{2})}(v)$ [/mm] ist.
Ist $(df)$ nicht die normale Ableitungsmatrix von f in Richtung [mm] $x^{1}$ [/mm] (1. Spalte) und Richtung [mm] $x^{2}$ [/mm] (2. Spalte)?
Als Erklärungsbeispiel haben wir hier eine Rotationsfläche genommen mit:
$c: I [mm] \to \IR^{2}$ [/mm] mit [mm] $c^{1}(t) \not= [/mm] 0 [mm] \; \forall \; [/mm] t [mm] \in [/mm] I$
Die zugehörige Rotationsfläche ist:
$f: [mm] Ix\IR^{2} \to \R^{3}$ [/mm] mit $ [mm] f(x^{1},x^{2}) [/mm] = [mm] (c^{1}(x^{1}) [/mm] * [mm] cos(x^{2}),c^{1}(x^{1}) [/mm] * sin [mm] (x^{2}), c^{2}(x^{2}))$.
[/mm]
Wie würde bei diesem Beispiel die 1. Fundamentalform in Skalarschreibweise (siehe Definition aussehen).
Sie müsste dann folgende Gleichung erfüllen:
[mm] $g_{ij} [/mm] = I [mm] (e_{i},e_{j})$ [/mm] mit [mm] $e_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $e_{2}=\vektor{0 \\ 1}$. [/mm] Das wäre dann die Überführung von Skalar- in Matrixschreibweise.
Dieses Verständnis ist wichtig für die 2. Fundamentalform (siehe mein anderer Post von heute mit Stichwort: "Geodäte, Fundamentalform").
Ich lerne grad für eine Klausur am Donnerstag, also es sind keine konkreten Aufgaben, sondern nur Verständnisfragen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 So 30.01.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Also ich beherrsche bisher nur die Matrixschreibweise der
> 1. Fundamentalform:
> [mm]I = \pmat{ g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} }[/mm]
> mit
> [mm]g_{ij} = <\frac{\delta f}{\delta x^{i}},\frac{\delta f}{\delta x^{j}}>[/mm]
> wobei [mm]\frac{\delta f}{\delta x^{i}}[/mm] die Ableitung von f
> nach der i-ten Komponente ist (In unserem Fall hat f immer
> nur zwei Komponenten).
> Außerdem gilt [mm]g_{12}=g_{21}[/mm].
>
> Meine Frage ist, wie [mm]I_{(x^{1},x^{2})}(u,v)[/mm] (siehe
> Definition) aussieht.
Das ist das von der Tangentialebene nach [mm] \IR^2 [/mm] zurückgeholte Skalarprodukt. Da ihr die 1. Fundamentalform unmittelbar über eine Immersion definiert, ist dann dein I einfach die Darstellungsmatrix des Skalarprodukts bezüglich der Standardbasis, so wie man das aus der linearen Algebra kennt.
> Ich verstehe nicht, was [mm](df)_{(x^{1},x^{2})}(u)[/mm] bzw.
> [mm](df)_{(x^{1},x^{2})}(v)[/mm] ist.
Das ist das gewöhnliche Differential von f im [mm] Punkt(x_1, x_2) [/mm] angewandt auf einen Vektor v (bzw. u) aus dem [mm] \IR^2 [/mm] [mm] df(x_1,x_2) [/mm] ist ein Vektorraumisomorphismus von [mm]\IR^2 [/mm] nach [mm] T_{f(x_1,x_2)}f(U) [/mm]
> Ist [mm](df)[/mm] nicht die normale Ableitungsmatrix von f in
> Richtung [mm]x^{1}[/mm] (1. Spalte) und Richtung [mm]x^{2}[/mm] (2. Spalte)?
>
> Als Erklärungsbeispiel haben wir hier eine
> Rotationsfläche genommen mit:
> [mm]c: I \to \IR^{2}[/mm] mit [mm]c^{1}(t) \not= 0 \; \forall \; t \in I[/mm]
> Die zugehörige Rotationsfläche ist:
> [mm]f: Ix\IR^{2} \to \R^{3}[/mm] mit [mm]f(x^{1},x^{2}) = (c^{1}(x^{1}) * cos(x^{2}),c^{1}(x^{1}) * sin (x^{2}), c^{2}(x^{2}))[/mm].
>
> Wie würde bei diesem Beispiel die 1. Fundamentalform in
> Skalarschreibweise (siehe Definition aussehen).
Die Frage verstehe ich nicht. Wenn du df berechnet hast, kannst du dann zu zwei Vektoren u,v I(u,v) berechnen.
> Sie müsste dann folgende Gleichung erfüllen:
> [mm]g_{ij} = I (e_{i},e_{j})[/mm] mit [mm]e_{1} = \vektor{1 \\ 0}[/mm] und
> [mm]e_{2}=\vektor{0 \\ 1}[/mm].
Genau das ist auch offensichtlich erfüllt, wegen [mm] df(x_1, x_2)(e_i) = \bruch{\partial f}{\partial x^{i}} [/mm].
Was man mit der ersten Fundamentalform haben will, ist ein Skalarprodukt auf den Tangentialräumen. Eine Basis des Tangentialraums im Punkt p bilden die [mm] \bruch{\partial f}{\partial x^{i}}(f^{-1}(p)) [/mm]. Da jeder reelle Vektorraum der Dimension 2 zum [mm] \IR^2 [/mm] isomorph ist, kann man die ganze Geschichte durch f in den [mm] \IR^2 [/mm] zurückholen. Die Bilder der Standardbasis unter dem Isomorphismus [mm] df(x_1,x_2) [/mm] sind die Basisvektoren [mm] \bruch{\partial f}{\partial x^{i}}(f^{-1}(p)) [/mm] der Tangentialebene.
> Das wäre dann die Überführung von
> Skalar- in Matrixschreibweise.
>
> Dieses Verständnis ist wichtig für die 2. Fundamentalform
> (siehe mein anderer Post von heute mit Stichwort:
> "Geodäte, Fundamentalform").
>
> Ich lerne grad für eine Klausur am Donnerstag, also es
> sind keine konkreten Aufgaben, sondern nur
> Verständnisfragen.
Beste Grüße,
Berieux
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Ok ich glaube ich habe ein wenig mehr verstanden...
Es gilt ja bei dem Beispiel der Rotationsfläche:
[mm] $(df)_{(x^{1},x^{2})} [/mm] = [mm] \pmat{ c^{1}'(x^{1})*cos(x^{2}) & -c^{1}(x^{1})*sin(x^{2}) \\ c^{1}'(x^{1})*sin(x^{2}) & c^{1}(x^{1})*cos(x^{2}) \\ c^{2}'(x^{1}) & 0 }$
[/mm]
und somit [mm] $(df)_{(x^{1},x^{2})}(u) [/mm] = [mm] \pmat{ c^{1}'(x^{1})*cos(x^{2}) & -c^{1}(x^{1})*sin(x^{2}) \\ c^{1}'(x^{1})*sin(x^{2}) & c^{1}(x^{1})*cos(x^{2}) \\ c^{2}'(x^{1}) & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{u^{1} \\ u^{2}}$
[/mm]
Analog erhalte ich für [mm] $(df)_{(x^{1},x^{2})}(v)$: $\vektor{c^{1}'(x^{1})*cos(x^{2})*v^{1}-c^{1}(x^{1})*sin(x^{2})*v^{2} \\ c^{1}'(x^{1})*sin(x^{2})*v^{1}+c^{1}(x^{1})*cos(x^{2})*v^{2} \\ c^{2}'(x^{1})*v^{1}}$
[/mm]
Und für [mm] $I_({x^{1},x^{2})}(u,v) [/mm] = [mm] <(df)_{(x^{1},x^{2})}(u),(df)_{(x^{1},x^{2})}(v)> [/mm] = [mm] (c^{1'^{2}}(x^{1})+c^{2'^{2}}(x^{1})) [/mm] * [mm] u^{1}v^{1} [/mm] + [mm] c^{1^{2}}(x^{1}) [/mm] * [mm] u^{2}v^{2}$
[/mm]
Was ich auch schreiben kann als:
[mm] $I_({x^{1},x^{2})}(u,v) [/mm] = [mm] g_{11} [/mm] * [mm] u^{1}v^{1} [/mm] + [mm] g_{22} [/mm] * [mm] u^{2}v^{2}$.
[/mm]
Der Term [mm] $2*g_{21}*u^{1}v^{2}$ [/mm] fällt hier weg, da [mm] $g_{21}=g_{12}=0$.
[/mm]
Also gilt allgemein:
[mm] $I_({x^{1},x^{2})}(u,v) [/mm] = [mm] g_{11} [/mm] * [mm] u^{1}v^{1} [/mm] + [mm] 2*g_{12}*u^{1}v^{2} [/mm] + [mm] g_{22} [/mm] * [mm] u^{2}v^{2}$
[/mm]
Sehe ich das richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 So 30.01.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Ok ich glaube ich habe ein wenig mehr verstanden...
> Es gilt ja bei dem Beispiel der Rotationsfläche:
> [mm](df)_{(x^{1},x^{2})} = \pmat{ c^{1}'(x^{1})*cos(x^{2}) & -c^{1}(x^{1})*sin(x^{2}) \\ c^{1}'(x^{1})*sin(x^{2}) & c^{1}(x^{1})*cos(x^{2}) \\ c^{2}'(x^{1}) & 0 }[/mm]
>
> und somit [mm](df)_{(x^{1},x^{2})}(u) = \pmat{ c^{1}'(x^{1})*cos(x^{2}) & -c^{1}(x^{1})*sin(x^{2}) \\ c^{1}'(x^{1})*sin(x^{2}) & c^{1}(x^{1})*cos(x^{2}) \\ c^{2}'(x^{1}) & 0 } * \vektor{u^{1} \\ u^{2}}[/mm]
>
> Analog erhalte ich für [mm](df)_{(x^{1},x^{2})}(v)[/mm]:
> [mm]\vektor{c^{1}'(x^{1})*cos(x^{2})*v^{1}-c^{1}(x^{1})*sin(x^{2})*v^{2} \\ c^{1}'(x^{1})*sin(x^{2})*v^{1}+c^{1}(x^{1})*cos(x^{2})*v^{2} \\ c^{2}'(x^{1})*v^{1}}[/mm]
>
> Und für [mm]I_({x^{1},x^{2})}(u,v) = <(df)_{(x^{1},x^{2})}(u),(df)_{(x^{1},x^{2})}(v)> = (c^{1'^{2}}(x^{1})+c^{2'^{2}}(x^{1})) * u^{1}v^{1} + c^{1^{2}}(x^{1}) * u^{2}v^{2}[/mm]
>
> Was ich auch schreiben kann als:
> [mm]I_({x^{1},x^{2})}(u,v) = g_{11} * u^{1}v^{1} + g_{22} * u^{2}v^{2}[/mm].
>
> Der Term [mm]2*g_{21}*u^{1}v^{2}[/mm] fällt hier weg, da
> [mm]g_{21}=g_{12}=0[/mm].
>
> Also gilt allgemein:
> [mm]I_({x^{1},x^{2})}(u,v) = g_{11} * u^{1}v^{1} + 2*g_{12}*u^{1}v^{2} + g_{22} * u^{2}v^{2}[/mm]
>
> Sehe ich das richtig so?
Naja..du hast natürlich
[mm]I_({x^{1},x^{2})}(u,v) = g_{11} * u^{1}v^{1} + g_{12}*u^{1}v^{2} + g_{21}u^2v^1 + g_{22} * u^{2}v^{2}[/mm]
Der Rest sieht ok aus.
Grüße,
Berieux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Mo 31.01.2011 | | Autor: | musesician |
Danke für die Hilfe!
Bin momentan dabei mein Skript nochmal durchzugehen und das wichtigste rauszuschreiben für die Klausur.
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