10 Gym S. 128 Nr. 8 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | a) Erläutere am Bsp der Fkt. [mm] f(x)=3x^2 [/mm] die folgenden 3 Terme (Skizze, Berechng.)
- [mm] \bruch{f(3+h)-f(x)}{h} [/mm]
(ich hätte hier für x besser 2 gewählt, ist so irreführend, wegen des Koeffizienten, der auch 3 ist)
- $ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}$ \bruch{f(3+h)-f(x)}{h} [/mm]
- [mm] y_1(x)= \bruch{f(x+0,01)-f(x)}{0,01} [/mm] |
[mm] \bruch{f(3+h)-f(x)}{h} [/mm]
Je nachdem wie gr. h ist ist es eine Sekante oder eine Tangente, die bei
[mm] y=3x^2 [/mm] an der Stelle x=3 angelegt wurde.
(also mal so bildlich gesprochen)
Es kann beides sein, weil offen ist, was davor steht
entweder der Differenz-Quot. dy/dx (Sekante)
oder $ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}$ [/mm] (Tangente)
In der Aufg. oben steht aber in Klammern (Skizze, Berechng.)
Bhf?
Was soll ich machen?
------------------------------------------------------------------------------
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}$ \bruch{f(3+h)-f(x)}{h} [/mm]
Dieser Term gibt die exakte Steig. der Fkt. [mm] 3x^2 [/mm] bei x=3 an.
Schluss. Pkt. fertig aus
Aber wieder die Begriffe aus der Klammer
Skizze? Nee, son Fuzzelkram zeichne ich nicht mehr, man sieht doch nix Wenn, dann nur Explosionszeichnung, aber dann siehts wieder wie ne Sekante aus, also Skizze fällt aus.
Ja, u. berechnen kann ich es ja mal:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}$ [/mm] 6x
------------------------------------------------------------------------
[mm] y_1(x)= \bruch{f(x+0,01)-f(x)}{0,01} [/mm]
Bei ganz vielen Zeichnungen im Buch zu dem Thema "Fkt., Änderungsraten, von der Sekantensteig. zur Ableitg." ist der Graph der Ableitg. richtig fett, wie mit einem dicken breiten Edding. Schaut man genauer hin, sind es ganz viele viele ähnliche Funktionen. Je nachdem welchen Wert h hat. Und
[mm] y_1(x)= \bruch{f(x+0,01)-f(x)}{0,01} [/mm] ist eben ein einzelner Schweif ("von so einem Kometen").
So, das sind alle meine Gedanken zu dieser Aufg. a)
Ich hätte aber gern eine 1 u. keine 3 oder 2-
Was muss ich anders machen oder ergänzen?
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--------------------------------------------------------------------------
Jetzt Aufg. b)
Ordne jedem Term einen passenden Begriff zu
Momentananstieg in (3/f(3))
Sekantensteigs.-Fkt.
Durchschnittssteig.
Momentananstieg
exakte Steig. der Fkt. bei x=3 (Tangente) gehört zu [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(3+h)-f(x)}{h} [/mm]
Sekantensteigs.-Fkt.
Eine Sekante ist eine Gerade, eine lin. Fkt.
Könnte zu
[mm] \bruch{f(3+h)-f(x)}{h} [/mm] und zu [mm] y_1(x)= \bruch{f(x+0,01)-f(x)}{0,01} [/mm] passen.
Weil Sekante= lin. Fkt.
so sieht der Zähler auf dem Bruchstrich aus (einfach)
wäre es eine quadrat. oder kubische, wäre der Zähler komplexer
Druchschnittssteig.
kann nur zu [mm] y_1(x)= \bruch{f(x+0,01)-f(x)}{0,01} [/mm] gehören,
denn wenn h=0,1 GROSS ist kann es nur um die Steig. einer Sekante handeln
Ich bekomme doch sicher wie immer Antw.
Oh toll, vielen vielen DANK
Weiß aber nicht, ob ich heute abend nochmal hier schauen werde. Spätestens jedoch aber morgen, wenn die Geschäfte wieder auf haben.
D-A-N-K-E
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Erläutere am Bsp der Fkt. [mm]f(x)=3x^2[/mm] die folgenden 3
> Terme (Skizze, Berechng.)
>
> - [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> (ich hätte hier für x besser 2 gewählt, ist so
> irreführend, wegen des Koeffizienten, der auch 3 ist)
>
> - [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> - [mm]y_1(x)= \bruch{f(x+0,01)-f(x)}{0,01}[/mm]
>
> [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}[/mm]
> Je nachdem wie gr. h ist ist es eine Sekante oder eine
> Tangente, die bei
> [mm]y=3x^2[/mm] an der Stelle x=3 angelegt wurde.
> (also mal so bildlich gesprochen)
> Es kann beides sein, weil offen ist, was davor steht
> entweder der Differenz-Quot. dy/dx (Sekante)
> oder [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] (Tangente)
nein, es kann nicht irreführend sein. Das einzige, was eigentlich fehlt, ist, dass $h [mm] \not=0$ [/mm] sein muss, weil andernfalls durch Null geteilt wird. Aber davon geht man hier meist sicher einfach stillschweigend aus:
Der Term [mm] $\frac{f(3+h)-f(\red{3})}{h}$ [/mm] ist, wie Du vielleicht nun auch aus meiner anderen Antwort weißt, geometrisch nichts anderes als die Steigung der SEKANTE, die durch die beiden Punkte [mm] $A:=(3,f(3))\,$ [/mm] und [mm] $B_h:=(3+h,f(3+h))$ [/mm] (wobei [mm] $A,B_h$ [/mm] beide zum Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] gehören) eindeutig bestimmt ist.
Da hat ein [mm] $dy/dx\,$ [/mm] nichts davor zu suchen - was sollte das auch da? Und würde da [mm] $\lim_{h \to 0}$ [/mm] davor stehen, dann bist Du doch genau im Falle der nächsten Frage: Das wäre dann die Steigung der Tangente am Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=3\,,$ [/mm] oder anders gesagt:
Die Steigung der Tangente, angelegt am Punkte [mm] $A=(3,f(3))\,$ [/mm] des Graphen von [mm] $f\,.$
[/mm]
Das einzige, was man interpretieren kann:
Für (betrags-)kleine $h [mm] \not=0$ [/mm] ist die Sekantensteigung von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=3$ [/mm] - gegeben durch $(f(3+h)-f(3))/h$ - eine (gewisse) Approximation an die Tangentensteigung von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=3$ [/mm] - letztgenannte Tangentensteigung ist [mm] $\lim_{h \to 0}((f(3+h)-f(3))/h).$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Fr 06.04.2012 | | Autor: | abakus |
> a) Erläutere am Bsp der Fkt. [mm]f(x)=3x^2[/mm] die folgenden 3
> Terme (Skizze, Berechng.)
>
> - [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> (ich hätte hier für x besser 2 gewählt, ist so
> irreführend, wegen des Koeffizienten, der auch 3 ist)
>
> - [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> - [mm]y_1(x)= \bruch{f(x+0,01)-f(x)}{0,01}[/mm]
>
> [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}[/mm]
> Je nachdem wie gr. h ist ist es eine Sekante oder eine
> Tangente, die bei
> [mm]y=3x^2[/mm] an der Stelle x=3 angelegt wurde.
> (also mal so bildlich gesprochen)
> Es kann beides sein, weil offen ist, was davor steht
> entweder der Differenz-Quot. dy/dx (Sekante)
> oder [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] (Tangente)
>
> In der Aufg. oben steht aber in Klammern (Skizze,
> Berechng.)
> Bhf?
> Was soll ich machen?
Das was dasteht.
Die Funktionsgleichung [mm] f(x)=3$x^2$ [/mm] besagt, dass, wenn man irgendeine Zahl nimmt, man den zugehörigen Funktionswert berechnet, indem man diese Zahl quadriert und das Ergebnis verdreifacht.
Also ist f(3+h) nichts anderes als [mm] $3*(3+h)^2$, [/mm] also [mm] $27+18h+3h^2$.
[/mm]
Somit ist der geforderte Ausdruck [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}=\bruch{(27+18h+3h^2)-3*x^2}{h}[/mm].
Ach so: bist du sicher, die Aufgabe richtig abgeschrieben zu haben?
Ich vermute, im Zähler stand nicht ...-f(x), sondern vielleicht
...-f(3)???
Gruß Abakus
>
> ------------------------------------------------------------------------------
>
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> Dieser Term gibt die exakte Steig. der Fkt. [mm]3x^2[/mm] bei x=3
> an.
> Schluss. Pkt. fertig aus
> Aber wieder die Begriffe aus der Klammer
> Skizze? Nee, son Fuzzelkram zeichne ich nicht mehr, man
> sieht doch nix Wenn, dann nur Explosionszeichnung, aber
> dann siehts wieder wie ne Sekante aus, also Skizze fällt
> aus.
> Ja, u. berechnen kann ich es ja mal:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] 6x
> ------------------------------------------------------------------------
>
> [mm]y_1(x)= \bruch{f(x+0,01)-f(x)}{0,01}[/mm]
>
> Bei ganz vielen Zeichnungen im Buch zu dem Thema "Fkt.,
> Änderungsraten, von der Sekantensteig. zur Ableitg." ist
> der Graph der Ableitg. richtig fett, wie mit einem dicken
> breiten Edding. Schaut man genauer hin, sind es ganz viele
> viele ähnliche Funktionen. Je nachdem welchen Wert h hat.
> Und
> [mm]y_1(x)= \bruch{f(x+0,01)-f(x)}{0,01}[/mm] ist eben ein einzelner
> Schweif ("von so einem Kometen").
>
> So, das sind alle meine Gedanken zu dieser Aufg. a)
> Ich hätte aber gern eine 1 u. keine 3 oder 2-
> Was muss ich anders machen oder ergänzen?
>
> --------------------------------------------------------------------------
>
> --------------------------------------------------------------------------
>
> Jetzt Aufg. b)
> Ordne jedem Term einen passenden Begriff zu
> Momentananstieg in (3/f(3))
> Sekantensteigs.-Fkt.
> Durchschnittssteig.
>
> Momentananstieg
> exakte Steig. der Fkt. bei x=3 (Tangente) gehört zu
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(3+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> Sekantensteigs.-Fkt.
> Eine Sekante ist eine Gerade, eine lin. Fkt.
> Könnte zu
> [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}[/mm] und zu [mm]y_1(x)= \bruch{f(x+0,01)-f(x)}{0,01}[/mm]
> passen.
> Weil Sekante= lin. Fkt.
> so sieht der Zähler auf dem Bruchstrich aus (einfach)
> wäre es eine quadrat. oder kubische, wäre der Zähler
> komplexer
>
> Druchschnittssteig.
> kann nur zu [mm]y_1(x)= \bruch{f(x+0,01)-f(x)}{0,01}[/mm]
> gehören,
> denn wenn h=0,1 GROSS ist kann es nur um die Steig. einer
> Sekante handeln
>
> Ich bekomme doch sicher wie immer Antw.
> Oh toll, vielen vielen DANK
> Weiß aber nicht, ob ich heute abend nochmal hier schauen
> werde. Spätestens jedoch aber morgen, wenn die Geschäfte
> wieder auf haben.
> D-A-N-K-E
> Sabine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> > a) Erläutere am Bsp der Fkt. [mm]f(x)=3x^2[/mm] die folgenden 3
> > Terme (Skizze, Berechng.)
> >
> > - [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}[/mm]
> >
> > (ich hätte hier für x besser 2 gewählt, ist so
> > irreführend, wegen des Koeffizienten, der auch 3 ist)
> >
> > - [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}[/mm]
> >
> > - [mm]y_1(x)= \bruch{f(x+0,01)-f(x)}{0,01}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}[/mm]
> > Je nachdem wie gr. h ist ist es eine Sekante oder eine
> > Tangente, die bei
> > [mm]y=3x^2[/mm] an der Stelle x=3 angelegt wurde.
> > (also mal so bildlich gesprochen)
> > Es kann beides sein, weil offen ist, was davor steht
> > entweder der Differenz-Quot. dy/dx (Sekante)
> > oder [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] (Tangente)
> >
> > In der Aufg. oben steht aber in Klammern (Skizze,
> > Berechng.)
> > Bhf?
> > Was soll ich machen?
> Das was dasteht.
> Die Funktionsgleichung f(x)=3[mm]x^2[/mm] besagt, dass, wenn man
> irgendeine Zahl nimmt, man den zugehörigen Funktionswert
> berechnet, indem man diese Zahl quadriert und das Ergebnis
> verdreifacht.
> Also ist f(3+h) nichts anderes als [mm]3*(3+h)^2[/mm], also
> [mm]27+18h+3h^2[/mm].
> Somit ist der geforderte Ausdruck
> [mm]\bruch{f(3+h)-f(x)}{h}=\bruch{(27+18h+3h^2)-3*x^2}{h}[/mm].
> Ach so: bist du sicher, die Aufgabe richtig abgeschrieben
> zu haben?
> Ich vermute, im Zähler stand nicht ...-f(x), sondern
> vielleicht
> ...-f(3)???
> Gruß Abakus
stimmt, so hatte ich das in meiner Antwort auch gemeint - habe ich auch mal korrigiert!
Gruß,
Marcel
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