1600 Kokosnüsse auf 100 Affen < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 23:05 Do 22.07.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo liebe Leserinnen und Leser! 
Da ich diese Aufgabe im Jahre 1999 gelöst habe und sie nicht besonders schwer fand, dachte ich, ich stelle diese Aufgabe auch hier noch einmal im Wettbewerbsforum:
Aufgaben 1999 , 1. Runde
Aufgabe 1 :
Auf 100 Affen werden 1600 Kokosnüsse verteilt, wobei einige Affen auch leer ausgehen können.
Man beweise, dass es - ganz gleich, wie die Verteilung erfolgt - stets mindestens vier Affen mit derselben Anzahl von Kokosnüssen gibt.
(entnommen von ![[]](/images/popup.gif) http://www.jever-online.de/dbwmath.htm)
So, jetzt bin ich mal gespannt, welche Lösungsvorschläge von euch zu dieser Aufgabe kommen.
PS: Die Aufgabe ist meiner Meinung nach sehr einfach, man muss nur einmal die richtige Idee gefunden haben. Deshalb, so denke ich, sollten sich zumindest zunächst mal Schüler/Innen an der Aufgabe versuchen.
Ich stelle den "Interessenstatus" mal auf eine Woche, falls bis dahin kein/e Schüler/in auf eine Lösung gekommen ist, so werde entweder ich meine Lösung von damals dazu präsentieren oder ich warte noch etwas, ob nicht ein Lösungsvorschlag von einem/einer "Nicht-mehr-Schüler/in" kommt.
Viel Spaß beim Grübeln ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Do 22.07.2004 | | Autor: | BigFella |
Och an die kann ich mich auch noch erinern :o) Ist zwar einfach aber ich hatte damals- vor dem Studium - ech Probleme das kurz und knapp und formell schön aufzuschreiben.. Also das ist dann schon ne Nuss für sich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:39 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo BigFella,
ich hatte die Aufgabe innerhalb einer Stunde (evtl. +30 Minuten) gelöst (letzte Unterrichtsstunde in der Schule war Mathe, da wurden die Aufgabenblätter verteilt; auf dem Nachhauseweg im Zug ist mir dann die Lösung eingefallen, obwohl ich erst zu Hause an der Aufgabe arbeiten wollte  ) (also muss sie sehr einfach sein ). Aber bis ich damals das ganze so aufgeschrieben hatte, dass ich es lückenlos fand, das hat mich auch noch drei (weitere) Stunden gekostet. Das lag aber zum Teil auch daran, dass ich auch gar keine Lücke lassen wollte und es auch formschön abgeben wollte, so dass ich einige meiner Lösungen weggeschmissen und dann ein paar mal von neu angefangen hatte, es aufzuschreiben; solange, bis ich der Meinung war, das es druckreif sei.
Ich bin in solchen Dingen sehr penibel (frag mal Paul(us) ).
Liebe Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:19 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Meine Idee:
Wir nehmen an, es gäbe eine Verteilung, bei der höchstens 3 Affen die gleiche Anzahl an Kokosnüssen besäßen. Die optimale Verteilung wäre also, den ersten 3 Affen 1 Nuss zu geben, den nächsten 3 Affen 2, dann den nächsten 3 Affen 3 usw. Machen wir dies für 96 Affen, so haben die letzten 3 genau 32 Nüsse. 3 weitere Affen bekommen keine Nüsse, womit 99 Affen bedient wären. Nun sind 1584 Bananen weg. Die letzten 16 Nüsse geben wir 100. Affen. Dann haben wir 4 mal die VErteilung mit 16 Nüsse. Nun können wir tauschen. Jedoch ist es ganz gleich wie wir dies tun, denn wo ich beim Affen a etwas wegnehme, kommt es beim Affen b wieder drauf. Dann ist Affe a entweder durch die Abnahme der Nüsse nicht mehr in einer Vierergruppe, dafür b, oder aber b gelangt durch die Zunahme in eine Gruppe, a allerdings wird befreit. Doch man kann niemals einen Tausch vornehmen, bei dem a durch Wegnahme von Nüsse aus der Vierergruppe befreit wird und b nicht in eine hineingeführt wird.
Allerdings denke ikch auch, dass dieses Tausch-Denken gar nicht nötig ist, da schon von vornerein klar ist, dass die Ausgangssituation die am besten verteilte Lage ist und ( neben "Permutation der Affen" ) es keine bessere mehr gibt.
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Marcel |
Lieber Hanno,
ja, deine Überlegungen sind (bis auf einen kleinen Flüchtigkeitsfehler, siehe (*), Marcel, 12:57 Uhr: Oh, entschuldige, ich hatte übersehen, dass bei dir die letzten 3 der ersten 99 Affen keine Nuss bekommen; deine Lösung ist also korrekt) richtig und du hast auch geklärt, warum das so die beste Verteilung ist. Die Rechnung hatte ich genauso schnell (wie Stefan) hingeschrieben, nur, bis ich eine Formulierung gefunden hatte, die meiner Meinung nach zweifelsfrei klärt, warum das die "beste Verteilung" sein muss, da haben mir meine Formulierungen nicht gefallen.
Ich werde, vielleicht am Wochenende, einfach mal meine Musterlösung zu der damaligen Aufgabe abschreiben. Sofern ich es nicht vergesse.
Ist aber im Prinzip die gleiche Überlegung wie die von Stefan, aber deine ist auch korrekt.
Du verteilst halt immer "optimal" und guckst dir an, wieviel Kokosnüsse der 100e Affe dann bekommen müsste.
Stefans Rechnung zeigt, dass man mindestens 1617 Kokosnüsse benötigen würde, wollte man eine Anzahl von Kokosnüssen auf 100 Affen verteilen, wobei nicht mehr als 3 Affen die gleiche Anzahl von Kokosnüssen erhalten sollten. Das sind aber mehr als die 1600, die man zur Verfügung hat, womit man einen Widerspruch erhält.
(*):Einen kleinen Flüchtigkeitsfehler hast du in deinen Überlegungen:
Die ersten drei Affen bekommen nicht eine Nuss, sondern gar keine (also jeweils 0).
(siehe Aufgabentext:
"Auf 100 Affen werden 1600 Kokosnüsse verteilt, wobei einige Affen auch leer ausgehen können.")
Das musste ich jetzt auch durchstreichen.
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Julians89 |
und warum kann ich nicht dem ersten Affen 1 Nuss, dem 2. 2Nüsse,... und dem letzten Affen die restlichen Nüsse geben.?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du willst also dem ersten Affen 1 Nuss geben, dem zweiten 2, dem dritten 3 usw? Dann wären das ja genau [mm] $\sum_{i=1}^{99} [/mm] i$ Nüsse. Das wären allerdings dann 4950 Nüsse, die du brauchst, und so viele hast du nicht.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> und warum kann ich nicht dem ersten Affen 1 Nuss, dem 2.
> 2Nüsse,... und dem letzten Affen die restlichen Nüsse
> geben.?
wie bereits erklärt bräuchtest Du dann mehr Nüsse, als hier zur Verfügung stehen.
Aber als Tipp:
Es gilt für jedes $n [mm] \in \IN_0$
[/mm]
[mm] $0+1+2+...+n=\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
(Beweis für Schüler:
Für $n=0$ ist das trivial.
Für $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
Sei [mm] S_n:=0+1+2+...+n=1+...+n
[/mm]
Berechne [mm] 2S_n=S_n+S_n [/mm] wie folgt:
[mm] $\blue{1}+\green{2}+...+n=S_n$
[/mm]
[mm] $\blue{n}+\green{(n-1)}+...+1=S_n$
[/mm]
Addition der beiden Gleichungen ergibt rechterhand [mm] $2S_n$, [/mm] linkerhand stehen die Summanden 1+n; 2+(n-1); 3+(n-2);...., die alle jeweils $=n+1$ sind, und derer sind $n$ Stück vorhanden.)
Und jetzt überlege Dir mal:
Wir machen eine "Bestverteilung", wo wir so verteilen, dass es immer höchstens 3 Affen mit der gleichen Anzahl von Nüssen gibt.
Du musst Dir kurz überlegen, warum die folgende Strategie für die "bestmögliche" Verteilung sorgt (maximale Anzahl an Affen mit je minimaler Anzahl an Nüssen):
3 Affen bekommen keine, 3 von den verbleibenden 97 Affen bekommen jeweils 1, 3 von den verbleibenden 94 bekommen pro Person 2 etc.
Gruß,
Marcel
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