17^2012 - zykl. Exponent < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die letzten beiden Ziffern der Zahl [mm] 17^{2012} [/mm] |
Also ich habe folgende Idee:
$2012 [mm] =2^2*503$
[/mm]
also ist [mm] 17^{2012} [/mm] = [mm] (17^4)^{503}
[/mm]
Nun weiß ich nicht mehr weiter.
Wenn ich die Reihe ausrechne und mir die letzten beiden Ziffern betrachte, entdeckt man ein Muster.
Die Reihe lautet
[mm] 17^1 [/mm] = 17
[mm] 17^2 [/mm] = ...89
[mm] 17^3 [/mm] = ...13
...21
...57
...69
usw.
ab hier wiederholen sich die letzten Ziffern immer in der Sequenz 7,9,3,1
Die Sequenz der zweitletzten Zahl ist abhängig von der letzten. So ensteht die Folge: 17, 57, 97, 37, 77 und wieder 17. Ein Muster tritt bei allen letzten Ziffern auf.
Also wiederholen sich alle 20 Mal auch die Sequenz der zweitletzten Ziffer.
Mein Problem an dieser Stelle ist, dass ich in der Klausur keinen Taschenrechner verwenden darf.
Wie komm ich denn darauf, wann sich das wiederholt?
Eine Idee noch:
[mm] 3\equiv [/mm] 503 mod 4
[mm] $(17^4)^3$=...61
[/mm]
und das ist auch genau die richtige Antwort.
Zufall??
Darüberhinaus, 17^12 von Hand auszurechnen ist in der Klausur auch stramm.
Kann mir jemand sagen, wie das einfacher zu lösen ist?
Vielen Dank
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moin,
Kennst du die Eulerphi-Funktion?
Du sollst hier [mm] $17^{2012}$ [/mm] modulo 100 berechnen (die letzten zwei Ziffern).
Was ist [mm] $\varphi(100)$ [/mm] ?
Mit der Argumentation bleibt nur noch [mm] $17^{12} [/mm] (mod 100)$ zu berechnen.
Dafür würde ich dir folgendes empfehlen:
[mm] $17^{12} [/mm] = [mm] (10+7)^{12}$
[/mm]
Wendest du nun auf die Klammer die allgemeine binomische Formel an so fällt modulo 100 sehr viel weg.
Es bleibt noch zu berechnen:
[mm] $7^{12}+12*10*7^{11} [/mm] (mod 100)$
Nun benutze, dass [mm] $7^2 [/mm] = 49 = (50-1)$
Auch hierauf kannst du wieder binomische Formel machen, sodass sehr viel wegfällt.
So würde ich das lösen und so könntest du es in der Klausur auch ohne Taschenrechner ausrechnen.
Deine Folge ist natürlich auch ein Weg, sollten in der Klausur kleinere Zahlen kommen, deren Potenzen du besser berechnen kannst, wäre es durchaus eine Möglichkeit.
lg
Schadow
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