1/ n hoch k < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Fr 29.12.2006 | | Autor: | jumape |
Die Reihe ( Summe über n=1 bis unéndlich) 1/(n hoch k)
Für welche k ist diese REihe konvergent, divergent?
Hat das über haupt was mit k zu tun?
Schon im voraus vielen Dank.
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Fr 29.12.2006 | | Autor: | baufux |
Probiers doch mal mit dem Quotientenkriterium.
Für k = 1 bekommst du die harmonische Reihe, die ist divergent, habe ich heute schon in einem anderen Post bewiesen, also einfach mal danach suchen.
Für k = 2 bekommst du die geometrische Reihe, die ist konvergent, siehe Quotientenkriterium.
Würde dann sagen für k [mm] \ge [/mm] 2 Konvergent und für k [mm] \le [/mm] 1 divergent. Dies kann man mit entsprechenden Majoranten und Minoranten (die obigen beiden Reihen) leicht zeigen.
Fall k nicht ganzzahlig sein muss, muss man sich natürlich noch was für den bereich zwischen 1 und 2 überlegen.
MfG Baufux
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Guten Abend.
Also [mm] \bruch{1}{n^{k}} [/mm] divergiert für [mm] k\le [/mm] 1 und konvergiert für k>1.
Begründung ist das Integralkriterium für Reihen
Sei f(x) eine monoton fallende Funktion die auf dem Intervall [mm] [p,\infty[ [/mm] definiert ( p ist eine ganze Zahl)ist und nur Positive Werte annimmt. in diesem Fall ist p=1.
Dann konvergiert die Summe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] f(n) genau dann wenn das Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] einen endlichen Wert annimmt.
Das funktioniert eben bei [mm] \bruch{1}{n^{k}} [/mm] nur für k>1. Kannst ja mal probieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Sa 30.12.2006 | | Autor: | jumape |
Danke schön.
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