1/x Epsilon-Delta-Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass
f: R\ {0} -> R, x -> 1/x
auf dem gesamten Definitionsbereich stetig ist mit dem Epsilon-Delta-Kriterium. |
Hi,
ich habe eine Verständnisfrage zu einem Beweis, den ich lustigerweise auch hier gefunden habe :=).
Abschätzung:
[mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}| [/mm] = [mm] |\bruch{x-x_0}{x*x_0}| [/mm] = [mm] \bruch{|x-x_0|}{|x*x_0|} [/mm] <= [mm] \bruch{\delta}{|x*x_0|} [/mm] <= [mm] \bruch{\delta}{(|x_0|-\delta)*|x_0|} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Die letzte Abschätzung gilt nur, wenn:
[mm] \delta [/mm] < [mm] |x_0|, [/mm] denn:
|x| = [mm] |x_0+x-x_0| [/mm] = [mm] |x_0-x_0+x| [/mm] = [mm] |x_0-(x_0-x)| [/mm] >= | [mm] |x_0| [/mm] - [mm] |x_0-x| [/mm] |, wenn jetzt [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] |x_0|, [/mm] dann gilt:
= [mm] |x_0| [/mm] - [mm] |x_0-x| [/mm] >= [mm] |x_0| [/mm] - [mm] \delta
[/mm]
Nun kann ich also:
[mm] \bruch{\delta}{(|x_0|-\delta)*|x_0|} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] nach [mm] \delta [/mm] auflösen. Wobei dieser Term nur gültig ist, wenn eben [mm] \delta [/mm] < [mm] |x_0|
[/mm]
Wähle also: [mm] \delta [/mm] := min( [mm] \bruch{\epsilon*x_0^2}{1+\epsilon*|x_0|}, |x_0| [/mm] )
Frage 1: Das Delta ist jetzt also automatisch auf [mm] \delta [/mm] < [mm] |x_0| [/mm] beschränkt; wenn der 1. Term für [mm] \delta [/mm] gewählt wird. Wenn jedoch [mm] \delta [/mm] := [mm] |x_0| [/mm] gewählt wird, galt [mm] \delta [/mm] < [mm] |x_0| [/mm] nicht bzw. 1. Term > [mm] |x_0| [/mm] ? Muss ich für die Wahl [mm] \delta [/mm] := [mm] |x_0| [/mm] nicht noch zeigen, dass diese Wahl auch "funktioniert"?
Frage 2: Darf ich beim Epsilon-Delta-Kriterium auch Forderungen an x stellen? z.B. x < 1, damit irgendeine Abschätzung stimmt?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Mo 01.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass
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> f: R\ {0} -> R, x -> 1/x
>
> auf dem gesamten Definitionsbereich stetig ist mit dem
> Epsilon-Delta-Kriterium.
> Hi,
>
> ich habe eine Verständnisfrage zu einem Beweis, den ich
> lustigerweise auch hier gefunden habe :=).
>
> Abschätzung:
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] = [mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x-x_0}{x*x_0}|[/mm] = [mm]\bruch{|x-x_0|}{|x*x_0|}[/mm] <=
> [mm]\bruch{\delta}{|x*x_0|}[/mm] <=
> [mm]\bruch{\delta}{(|x_0|-\delta)*|x_0|}[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
>
> Die letzte Abschätzung gilt nur, wenn:
>
> [mm]\delta[/mm] < [mm]|x_0|,[/mm] denn:
>
> |x| = [mm]|x_0+x-x_0|[/mm] = [mm]|x_0-x_0+x|[/mm] = [mm]|x_0-(x_0-x)|[/mm] >= | [mm]|x_0|[/mm]
> - [mm]|x_0-x|[/mm] |, wenn jetzt [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]|x_0|,[/mm] dann gilt:
> = [mm]|x_0|[/mm] - [mm]|x_0-x|[/mm] >= [mm]|x_0|[/mm] - [mm]\delta[/mm]
>
> Nun kann ich also:
>
> [mm]\bruch{\delta}{(|x_0|-\delta)*|x_0|}[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] nach [mm]\delta[/mm]
> auflösen. Wobei dieser Term nur gültig ist, wenn eben
> [mm]\delta[/mm] < [mm]|x_0|[/mm]
>
>
> Wähle also: [mm]\delta[/mm] := min(
> [mm]\bruch{\epsilon*x_0^2}{1+\epsilon*|x_0|}, |x_0|[/mm] )
>
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> Frage 1: Das Delta ist jetzt also automatisch auf [mm]\delta[/mm] <
> [mm]|x_0|[/mm] beschränkt; wenn der 1. Term für [mm]\delta[/mm] gewählt
> wird. Wenn jedoch [mm]\delta[/mm] := [mm]|x_0|[/mm] gewählt wird, galt
> [mm]\delta[/mm] < [mm]|x_0|[/mm] nicht bzw. 1. Term > [mm]|x_0|[/mm] ? Muss ich für
> die Wahl [mm]\delta[/mm] := [mm]|x_0|[/mm] nicht noch zeigen, dass diese Wahl
> auch "funktioniert"?
Ich bin mit obiger Def. von [mm] \delta [/mm] auch nicht einverstanden. Alles wird gut für
[mm]\delta[/mm] := min( [mm]\bruch{\epsilon*x_0^2}{1+\epsilon*|x_0|}, |x_0|/2[/mm] )
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> Frage 2: Darf ich beim Epsilon-Delta-Kriterium auch
> Forderungen an x stellen? z.B. x < 1, damit irgendeine
> Abschätzung stimmt?
Nein.
FRED
>
> Vielen Dank!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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