1/x, Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | DIe Abbildung [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , welche durch (x,y) -> x+y gegeben ist ist stetig. |
Wir haben in der EInführung in die Topologie bez Analysis neu gelernt, dass : Seien X,Y topologische Räume. Eine Abbildung f:X->Y ist stteig wenn für jede offene Menge V [mm] \subset [/mm] Y das Urblid [mm] f^{-1} [/mm] (U) [mm] \subset [/mm] X offen ist.
Hier Abbildung add(x,y)= x+y
Für U offen in [mm] \IR [/mm] ist zuzeigen [mm] add^{-1} [/mm] (U) offen in [mm] \IR^2 [/mm] ist <=> ZZ.: [mm] x_0 \in \IR: \forall \epsilon> [/mm] 0 [mm] :add^{-1} (B_\epsilon (x_0)) [/mm] offen in [mm] \IR^2
[/mm]
wobei [mm] B_\epsilon (x_0) [/mm] := [mm] \{ x \in \IR^2 :||x-x_0||<\epsilon \} [/mm] mit euklidiche Norm.
WIe beweise ich das?=
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Sa 09.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> DIe Abbildung [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , welche durch (x,y) -> x+y
> gegeben ist ist stetig.
> Wir haben in der EInführung in die Topologie bez Analysis
> neu gelernt, dass : Seien X,Y topologische Räume. Eine
> Abbildung f:X->Y ist stteig wenn für jede offene Menge V
> [mm]\subset[/mm] Y das Urblid [mm]f^{-1}[/mm] (U) [mm]\subset[/mm] X offen ist.
>
Du meinst sicher [mm]f^{-1}[/mm] (V) [mm]
>
> Hier Abbildung add(x,y)= x+y
> Für U offen in [mm]\IR[/mm] ist zuzeigen [mm]add^{-1}[/mm] (U) offen in
> [mm]\IR^2[/mm] ist <=> ZZ.: [mm]x_0 \in \IR: \forall \epsilon>[/mm] 0
> [mm]:add^{-1} (B_\epsilon (x_0))[/mm] offen in [mm]\IR^2[/mm]
> wobei [mm]B_\epsilon (x_0)[/mm] := [mm]\{ x \in \IR^2 :||x-x_0||<\epsilon \}[/mm]
> mit euklidiche Norm.
>
> WIe beweise ich das?=
So gar nicht, denn [mm] B_\epsilon (x_0) [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] \IR., [/mm] also ist
[mm] add^{-1} (B_\epsilon (x_0))= \{(x,y) \in \IR^2: |x+y-x_0| < \epsilon\}.
[/mm]
FRED
>
> LG
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