2-absolut konvergente reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Mi 21.11.2007 | | Autor: | howtoadd |
| Aufgabe | Seien [mm] \summe^{\infty}_{ n= 0}a_n [/mm] und [mm] \summe^{\infty}_{n= 0}b_n [/mm] zwei absolut konvergente Reihen, wobei [mm] \summe^{\infty}_{n= 0}a_n=A [/mm] und [mm] \summe^{\infty}_{n= 0}b_n=B [/mm] .
Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe^{\infty}_{n= 0}a_n \pmat{ \summe^{ \infty}_{ m= 0}b_m }
[/mm]
auch absolut konvergent ist, und die Reihe gegen die Zahl A * B konvergiert.
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hallo an alle!
bin wieder am verzweifeln! also, was konvergente reihen sind verstehe ich, auch die Cauchy Folge... aber ich verstehe die absolut konvergente reihe nicht!
und auch nicht, wie ich das beweisen soll!
kann mir jemand helfen an die aufgabe ran zu gehen, mit kleinen schritten???
bittee???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mi 21.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien [mm]\summe^{\infty}_{ n= 0}a_n[/mm] und [mm]\summe^{\infty}_{n= 0}b_n[/mm]
> zwei absolut konvergente Reihen, wobei [mm]\summe^{\infty}_{n= 0}a_n=A[/mm]
> und [mm]\summe^{\infty}_{n= 0}b_n=B[/mm] .
> Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe^{\infty}_{n= 0}a_n \pmat{ \summe^{ \infty}_{ m= 0}b_m }[/mm]
>
> auch absolut konvergent ist, und die Reihe gegen die Zahl A
> * B konvergiert.
>
> hallo an alle!
>
> bin wieder am verzweifeln! also, was konvergente reihen
> sind verstehe ich, auch die Cauchy Folge... aber ich
> verstehe die absolut konvergente reihe nicht!
Absolute Konvergenz ist ganz einfach: die Reihe [mm]\summe^{\infty}_{ n= 0}a_n[/mm] heisst absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge [mm]\summe^{\infty}_{ n= 0}|a_n|[/mm] konvergent ist.
Das hat eine Reihe von Konsequenzen:
- Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent.
- Die Summanden einer absolute konvergenten Reihe können beliebig umgeordnet werden, ohne dass sich am Konvergenzverhalten oder am Grenzwert etwas ändert.
> und auch nicht, wie ich das beweisen soll!
Zeige, dass die Folge der Partialsummen der Absolutbeträge
[mm]x_i = \summe^{i}_{n= 0}\left|a_n \pmat{ \summe^{ \infty}_{ m= 0}b_m }\right|[/mm]
konvergiert! Benutze dabei die Voraussetzungen!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 So 25.11.2007 | | Autor: | howtoadd |
danke, ich glaub ich hab die aufgabe lösen können!
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http://www.math.uni-bielefeld.de/~hemion/NWI/NWI_Ubung6.pdf