2-dim. und 3-dim. Vektoren < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1) Ein Flugzeug wird bezüglich eines Koordinatensystems mit der Einheit 1Km von einer Radarstation im Punkt P(2/5/2) geortet. Eine Minute später befindet es sich im Punkt Q(12/-7/3). Wir setzen voraus, dass das Flugzeug seine Richtung und Geschwindigkeit nicht ändert.
a) Wo befindet sich das Flugzeug 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn?
2) Ein Passagierflugzeug geht aus einer Höhe von 9500m in den gleichmäßigen Sinkflug über. In den ersten beiden Minuten zusammen verliert es 700m an Höhe.
a) Zeichne den Graphen der Zuordnung Zeit in Min ↦Flughöhe in m. Ermittle außerdem die Gleichung, mit der man die Flughöhe zu einer beliebigen Zeit nach Beginn des Sinkfluges angeben kann.
b) Auf der Gleichung der Geraden liegen auch die Vektoren [mm] \overrightarrow{A} =\vektor{0 \\ 9500} [/mm] und [mm] \overrightarrow{B} =\vektor{10 \\ 6000}. [/mm] Bestimme den Verschiebungsvektor [mm] \overrightarrow{AB}.
[/mm]
c) Durch die Gleichung [mm] \overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}+r\overrightarrow{AB}, [/mm] r=2,3,4,5 ... lassen sich beliebig viele [mm] Vektoren\overrightarrow{x} [/mm] berechnen, die sich auf dem Graphen der Zuordnung aus Teil a) befinden. Erkläre und überprüfe die Richtigkeit dieser Aussage. |
Hallo,
ich hätte mal eine Frage, da ich gerade irgendwie den Unterschied nicht verstehe. Bei der ersten Aufgabe kann ich folgende Geradengleichung in Parameterdarstellung aufstellen.
2a) [mm] \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+r \overrightarrow{PQ} [/mm]
So egal welche Zahl ich für r einsetze, ich erhalte die Koordinaten des Flugzeuges nach der Zeit r, wobei r in Minuten ist.
z.B. [mm] \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+3 \overrightarrow{PQ}= \vektor{32 \\ -31 \\ 5}, [/mm] d.h. nach 3 Minuten befindet sich das Flugzeug im Punkt [mm] \vektor{32 \\ -31 \\ 5}. [/mm] Kann man diesen Punkt dann auch als Geschwindigkeitsvektor ansehen oder vielmehr als Streckenvektor?
Bei Aufgabe 2
[mm] \overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}+r\overrightarrow{AB}
[/mm]
Wieso ist es hier nicht genauso wie bei Aufgabe 1, dass wenn ich z.B. für 2 einsetze, ich dann auch die Flughöhe nach Minuten rausbekomme. Wieso ist das hier anders? Mit der linearen Funktion würde dies ja klappen, wenn ich y=-350x+9500 habe, steht x für meine Zeit in Minuten. In meiner Parameterdarstellung in vektorieller Form steht jedoch r nicht für die Minuten. Wieso? Welche Bedeutung kommt hier meinem Parameter r zu? Und worin unterscheidet er sich z.B. mit 3-dim-Vekor? Denn hier steht ja r jawohl für die Zeit.
|
|
| |
|
> 1) Ein Flugzeug wird bezüglich eines Koordinatensystems
> mit der Einheit 1Km von einer Radarstation im Punkt
> P(2/5/2) geortet. Eine Minute später befindet es sich im
> Punkt Q(12/-7/3). Wir setzen voraus, dass das Flugzeug
> seine Richtung und Geschwindigkeit nicht ändert.
>
> a) Wo befindet sich das Flugzeug 3 Minuten nach
> Beobachtungsbeginn?
>
>
> 2) Ein Passagierflugzeug geht aus einer Höhe von 9500m in
> den gleichmäßigen Sinkflug über. In den ersten beiden
> Minuten zusammen verliert es 700m an Höhe.
>
> a) Zeichne den Graphen der Zuordnung Zeit in Min
> ↦Flughöhe in m. Ermittle außerdem die Gleichung, mit
> der man die Flughöhe zu einer beliebigen Zeit nach Beginn
> des Sinkfluges angeben kann.
>
> b) Auf der Gleichung der Geraden liegen auch die Vektoren
> [mm]\overrightarrow{A} =\vektor{0 \\ 9500}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{B} =\vektor{10 \\ 6000}.[/mm] Bestimme den
> Verschiebungsvektor [mm]\overrightarrow{AB}.[/mm]
>
> c) Durch die Gleichung
> [mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}+r\overrightarrow{AB},[/mm]
> r=2,3,4,5 ... lassen sich beliebig viele
> [mm]Vektoren\overrightarrow{x}[/mm] berechnen, die sich auf dem
> Graphen der Zuordnung aus Teil a) befinden. Erkläre und
> überprüfe die Richtigkeit dieser Aussage.
>
> Hallo,
>
> ich hätte mal eine Frage, da ich gerade irgendwie den
> Unterschied nicht verstehe. Bei der ersten Aufgabe kann ich
> folgende Geradengleichung in Parameterdarstellung
> aufstellen.
>
> 2a) [mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+r \overrightarrow{PQ}[/mm]
>
>
> So egal welche Zahl ich für r einsetze, ich erhalte die
> Koordinaten des Flugzeuges nach der Zeit r, wobei r in
> Minuten ist.
>
> z.B. [mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+3 \overrightarrow{PQ}= \vektor{32 \\ -31 \\ 5},[/mm]
> d.h. nach 3 Minuten befindet sich das Flugzeug im Punkt
> [mm]\vektor{32 \\ -31 \\ 5}.[/mm] Kann man diesen Punkt dann auch
> als Geschwindigkeitsvektor ansehen oder vielmehr als
> Streckenvektor?
Hallo,
[mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] als Geschwindigkeitsvektor, denn er liefert den Weg pro Minute. Multiplikation mit der Zeit r liefert dann den zurückgelegten Weg.
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] ist der Vektor, der vom Ursprung auf die aktuell Position zeigt.
>
>
> Bei Aufgabe 2
>
> [mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}+r\overrightarrow{AB}[/mm]
>
> Wieso ist es hier nicht genauso wie bei Aufgabe 1, dass
> wenn ich z.B. für 2 einsetze, ich dann auch die Flughöhe
> nach Minuten rausbekomme. Wieso ist das hier anders?
Über A und B ist nur bekannt, daß sie auf der Flugbahn liegen. Es wird aber zunächst überhaupt kein Zusammenhang zur Zeit hergestellt.
Dem Aufgabentext kannst Du aber entnehmen, daß der Weg von A nach B 10 Minuten dauert.
Der Geschwindigkeitsvektor ist also [mm] \bruch{1}{10}\overrightarrow{AB},
[/mm]
und wenn Du diesen verwendest, also die Gleichung
[mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}+r*\bruch{1}{10}\overrightarrow{AB}[/mm]
nimmst, kannst Du in r die Minuten einsetzen und bekommst dann die Position geliefert.
> Mit
> der linearen Funktion würde dies ja klappen, wenn ich
> y=-350x+9500 habe, steht x für meine Zeit in Minuten.
Diese Gleichung liefert Dir die Flughöhe nach x Minuten, weil -350 (m/min) die Sinkgeschwindigkeit ist.
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] in [mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}+r*\bruch{1}{10}\overrightarrow{AB}[/mm]
hingegen ist der Geschwinigkeitsvektor, wenn Du als Zeiteinheit 1Zeiteinheit=10min wählst.
Für r=0.6 bekommst Du die Position nach 0.6*10min.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Mo 11.11.2013 | | Autor: | steve.joke |
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
HI,
> Dem Aufgabentext kannst Du aber entnehmen, daß der Weg von A nach B 10 Minuten dauert.
> Der Geschwindigkeitsvektor ist also $ [mm] \bruch{1}{10}\overrightarrow{AB}, [/mm] $
und wenn Du diesen verwendest, also die Gleichung
> $ [mm] \overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}+r\cdot{}\bruch{1}{10}\overrightarrow{AB} [/mm] $
> nimmst, kannst Du in r die Minuten einsetzen und bekommst dann die Position geliefert.
Mir ist gerade irgendwie doch nicht mehr klar, wieso [mm] r\cdot{}\bruch{1}{10}\overrightarrow{AB} [/mm] gerechnet wurde. Wieso die [mm] \bruch{1}{10}\overrightarrow{AB} [/mm] ???
allgemein gilt doch auch:
[mm] x_{2}=m*x_{1}+b [/mm] entspricht [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{0 \\ b}+r*\vektor{1 \\ m}
[/mm]
Das würde in diesem Fall [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{0 \\ 9500}+r*\vektor{1 \\ -350}
[/mm]
Wie kann man hier die [mm] \bruch{1}{10} [/mm] erklären???
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Do 14.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Wenn es von A nach B zehn Minuten dauert und die Geschwindigkeit in m/min angegeben wird,
dann ist nach einer Minute die Strecke 0,1 AB zurückgelegt worden, also v = 0,1 AB / min
|
|
|
| |
|
Hi,
und wieso haut das mit $ [mm] x_{2}=m\cdot{}x_{1}+b [/mm] $ entspricht $ [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{0 \\ b}+r\cdot{}\vektor{1 \\ m} [/mm] $ nicht hin? Oder stimmt das so nicht??
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> und wieso haut das mit [mm]x_{2}=m\cdot{}x_{1}+b[/mm] entspricht
> [mm]\overrightarrow{x}=\vektor{0 \\ b}+r\cdot{}\vektor{1 \\ m}[/mm]
> nicht hin? Oder stimmt das so nicht??
Hallo,
Du redest über [mm] x_2=-350\cdot{}x_{1}+9500?
[/mm]
Wir benennen die Variablen lieber um, dann wird es deutlicher:
[mm] y=-350\cdot{}t+9500,
[/mm]
t ist die Zeit in Minuten,
y ist die Flughöhe in m nach der Zeit t.
Aufgezeichnet bekommst Du ein Weg-Zeit-Diagramm, der Graph ist eine Gerade.
Formst Du diese Gleichung um in eine Vektorgleichung, so bekommst Du
[mm] \vektor{t\\y}=\vektor{0 \\ 9500}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -350}.
[/mm]
Diese Gleichung beschreibt die Gerade in obigem Weg-Zeit Diagramm.
[mm] \vektor{t\\y} [/mm] sagt Dir die Zeit und die zughörige Flughöhe.
Die Gleichung liefert Dir nicht die Position des Flügzeuges.
Jetzt zu der Gleichung, die die Position angibt:
Du kennst die Positionen A(0|9500), B(10|6000).
Die Gerade, die Dir die Position [mm] ((x_1|x_2) [/mm] des Flugzeuges liefert, ist
[mm] x_2=\bruch{-3500}{10}x_1+9500.
[/mm]
Es ist eine Weg-Weg-Gleichung. Sie liefert Dir ein Bildchen, wie sich das Flugzeug am Himmel bewegt.
Ist es um 20m in waagerechter Richtung weiter als am Anfang, ist es auf der Höhe 2500m.
Unglücklicherweise sind die Zahlen so, daß sich zufällig dieselbe Gleichung ergibt wie oben, aber die Bedeutung ist eine völlig andere:
[mm] \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{0 \\ 9500}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -350}.
[/mm]
Durch einsetzen von r bekommst Du die Positionen des Flugzeuges, und da [mm] \vektor{1 \\ -350} [/mm] gerade die zurückgelegte Strecke pro Minute ist, bekommst Du die Position nach r Minuten.
Ich glaube, es wird deutlicher, wenn Du mal über ein anderes Flugzeug nachdenkst, welches die Position C(0|9500) und nach 10 Minuten D(40|6000) hat.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Hi,
das verstehe ich irgendwie immer noch nicht.
Ich setze r=2 Minuten in folgende Gleichungen ein:
[mm] \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{0 \\ 9500}+2\cdot{}\vektor{1 \\ -350}=\vektor{2\\8800}
[/mm]
[mm] \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{0 \\ 9500}+2\cdot{}\bruch{1}{10}\vektor{1 \\ -350}=\vektor{0,2\\9430}
[/mm]
Was sagt jetzt welcher Vektor aus? Das verstehe ich irgendwie noch nicht??
Und was ist der Unterschied zwischen Weg-Zeit und Position des Flugzeuges??
Grüße
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> das verstehe ich irgendwie immer noch nicht.
Hallo,
was genau verstehst Du nicht?
Zitiere, was ich geschrieben habe, und frage konkret nach.
> Ich setze r=2 Minuten in folgende Gleichungen ein:
>
> [mm]\vektor{x_1\\x_2}=\vektor{0 \\ 9500}+2\cdot{}\vektor{1 \\ -350}=\vektor{2\\8800}[/mm]
Die Gleichung [mm]\vektor{x_1\\x_2}=\vektor{0 \\ 9500}+t\cdot{}\vektor{1 \\ -350}[/mm]
liefert die Position des Flugzeuges aus Aufg. b) nach t Minuten.
Du hattest zum Zeitpunkt t=0 die Position [mm] A(0\\9500), [/mm] zum Zeitpunkt t=10 die Position [mm] B(10\\6000)
[/mm]
Der Verschiebungsvektor [mm] \{AB}={10\\-3500} [/mm] sagt uns, in welche Richtung und wie weit sich das Flugzeug in 10 Minuten bewegt hat.
1/10 davon, [mm] \vektor{1\\-350} [/mm] ist dann logischerweise die Bewegung, die das Flugzeug in einer Minute vollführt.
Also gibt dieser Vektor die Geschwindigkeit in m/min an.
Und wenn ich ihn nun mit 5 Minuten multipliziere, bekomme ich den in 5 Minuten zurückgelegten Weg [mm] \vektor{5\\-1750}, [/mm] und wenn ich den an die Anfangsposition hefte, weiß ich, wo das Flugzeug nach 5 min befindlich ist, nämlich bei [mm] \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{0 \\ 9500}+5\cdot{}\vektor{1 \\ -350}=\vektor{5\\7750}.
[/mm]
Und wenn Du in die Gleichung für t die 2 einsetzt, kennst Du die Position nach 2 Minuten: [mm] \vektor{2\\8800}.
[/mm]
> [mm]\vektor{x_1\\x_2}=\vektor{0 \\ 9500}+2\cdot{}\bruch{1}{10}\vektor{1 \\ -350}=\vektor{0,2\\9430}[/mm]
Die Gleichung [mm]\vektor{x_1\\x_2}=\vektor{0 \\ 9500}+r\cdot{}\bruch{1}{10}\vektor{1 \\ -350}[/mm][mm] =\vektor{0 \\ 9500}+r*\vektor{0.1 \\ -35}[/mm]
[/mm]
liefert Dir, wenn r die reellen Zahlen durchläuft, ebenfalls sämtliche Punkte der Geraden, auf welcher sich das Flugzeug bewegt. Aber sie liefert Dir nicht die Position nach r Minuten.
[mm] \vektor{0 \\ 9500} [/mm] ist die Startposition, [mm] \vektor{0.1 \\ -35} [/mm] gibt die Richtung der Bewegung an.
Hier im Beispiel ist [mm] \vektor{0.1 \\ -35} [/mm] die Änderung des Weges, die man innerhalb 1/10 Minute hat.
Möchtest setzt Du hier die 2 für r in die Gleichung ein, bekommst Du die Position nach 2/10 min.
So erstaunlich ist das doch nicht:
Sagen wir, ein Auto fährt mit 72km/Std.
x=72*t liefert den zurückgelegten Weg in km, sofern ich in t in Stunden einsetze.
Will ich den in einer halben Stunde zurückgelegten Weg wissen, setze ich t=0.5 ein, bekomme x=36, und weiß: 36km werden in der Zeit zurückgelegt.
Es ist 72km/h=12km/10min.
x=12*t liefert den zurückgelegten Weg in km, sofern ich t als Vielfaches von 10 min einsetze.
Will ich den zurückgelegten Weg in einer halben Stunde wissen, muß ich t=3 einsetzen, denn die Zeiteinheit in der ich gerade rechne, ist ja 10min.
x=12*3=36, und ich weiß: 36m in 3*10min.
Wenn ich in die Gleichung x=12*t für t die 0.5 einsetzten würde, wenn ich wissen wollte, wie weit das Auto in einer halben Stunde kommt, wäre ich ja wirklich ziemlich dämlich.
>
> Was sagt jetzt welcher Vektor aus? Das verstehe ich
> irgendwie noch nicht??
s.o.
>
> Und was ist der Unterschied zwischen Weg-Zeit und Position
> des Flugzeuges??
Nehmen wir jetzt mal meine Aufgabe:
anderes Flugzeug, Anfangsposition C(0|9500), nach 10 Minuten D(40|6000)
Weg-Zeit-Diagramm:
auf der x-Achse trage ich die Zeit in Minuten ein, auf der y-Achse die Höhe des Objektes in m zum Zeitpunkt t.
Die Gleichung:
y=-350t+9500.
Ich kann dann im Diagramm ablesen oder mit der Gleichung ausrechnen, in welcher Flughöhe das Flugzeug etwa nach 5 Minuten ist, nämlich auf 7750m.
Darüber, wie weit es sich in waagerechter Richtung bewegt hat, gibt dieses Diagramm keine Auskunft.
Umformen in Vektorgleichung:
[mm] \vektor{t\\y}=\vektor{0\\9500}+r*\vektor{1\\-350}
[/mm]
Für jedes r bekomme ich einen Vektor, der mir ein mögliches Zeit-Flughöhe-Paar liefert.
Weg-Weg-Diagramm:
auf der x-Achse trage ich den in waagerechter Richtung zurückgelegten Weg in m ein, auf der y-Achse die zugehörige Flughöhe in m.
Die Gleichung:
[mm] y=\bruch{-3500}{40}*x+9500=-\bruch{350}{4}x+9500
[/mm]
Das Diagramm sieht so aus, wie wenn ich einen Fotoapparat hinstelle und eine Langzeitbelichtung mach. Es bildet die genaue Flugstrecke ab.
Setze ich x=80 ein, erfahre ich, in welcher Flughöhe das Flugzeug ist, wenn es sich 80m in waagerechter Richtung bewegt hat, nämlich auf 8800m.
Darüber, wie lange das dauert, gibt dieses Diagramm keine Auskunft.
Umformen in Vektorgleichung:
[mm] \vektor{x\\y}=\vektor{0\\9500}+r*\vektor{1\\\-bruch{350}{4}}
[/mm]
Für jedes r bekomme ich einen Vektor, der mir eine mögliche Position des Flugzeuges liefert.
Die Zeit ist hier zunächst überhaupt nicht im Spiel, ich kann sie aber ins Spiel bringen durch die Erkenntnis:
[mm] \vektor{1\\\-bruch{350}{4}} [/mm] ist die Wegänderung für eine Minute.
Also der Geschindigkeitsvektor in m/min.
Wenn ich das erkannt habe, ist klar, daß ich dem Parameter r die Bedeutung "Zeit in Minuten" einhauchen kann, und mir die Gleichung dann die Position nach r Minuten schenkt.
Du mußt verstehen, daß eine Gleichung zunächst einfach eine Gleichung ist.
Den "Sinn" muß man ihr erst einhauchen.
y=-350t+9500 kann das Flughöhe-Zeitgesetz dieser Aufgabe sein,
ebenso kann es aber auch meinen Kontostand in Millionen Euro nach t Tagen beschreiben.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Fr 15.11.2013 | | Autor: | steve.joke |
Jetzt hat es klick gemacht. Vielen, vielen Dank für die ausführliche Hilfe.
LG
|
|
|
|
