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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - 2-dim UVR
2-dim UVR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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2-dim UVR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Mi 02.07.2014
Autor: DesterX

Hallo zusammen,
ich suche eine Basis eines 2-dimensionalen Untervektorraums $U$ des [mm] $\IR^n$. [/mm]
Für Vektoren [mm] $u=(u_1,\ldots,u_n) \in [/mm] U$ soll gelten, dass

[mm] $u_i=\lambda u_{i-1} [/mm] + [mm] (1-\lambda) u_{i+1}$ [/mm] für alle [mm] $i=2,\ldots,n-1$, [/mm] sowie [mm] $\lambda \in (\frac12,1] [/mm] .

Es gilt offensichtlich [mm] $v=(1,\ldots,1) \in [/mm] U$ . Doch mir will leider nicht recht ein zweiter Vektor $w$ einfallen, sodass [mm] $\{v,w\}$ [/mm] eine Basis von $U$ ist.
Habt ihr eine Idee?
Vielen Dank vorab,
Dester  

        
Bezug
2-dim UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Mi 02.07.2014
Autor: Sax

Hi,

für [mm] \lambda\neq1 [/mm] wähle [mm] u_1 [/mm] und d beliebig und setze  [mm] q=\bruch{\lambda}{1-\lambda}. [/mm]
Dann erfüllt der Vektor u mit  [mm] u_i=u_1+d*\summe_{k=0}^{i-2}q^k [/mm]  die Bedingung.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
2-dim UVR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Do 03.07.2014
Autor: DesterX

Danke für deine Antwort.
Wie hast du das hergeleitet?

Bezug
                        
Bezug
2-dim UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Do 03.07.2014
Autor: fred97


> Danke für deine Antwort.
>  Wie hast du das hergeleitet?


Löse mal $ [mm] $u_i=\lambda u_{i-1} [/mm] $ + $ [mm] (1-\lambda) u_{i+1}$ [/mm] $  nach [mm] u_{i+1} [/mm] auf.

FRED

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