2. Beweis mit Bernoulli < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 So 06.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Hallo,
ich soll als nächstes folgendes mit der Bernoulli Gleichung beweisen:
[mm] \bruch{1}{1 * 2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2 * 3} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n(n + 1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n + 1}
[/mm]
Was ist jetzt x in der Bernoulli Gleichung???
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Hallo!
> ich soll als nächstes folgendes mit der Bernoulli Gleichung
> beweisen:
Also, eine Bernoulli-Gleichung kenne ich nicht, nur eine Bernoulli-Ungleichung. Und da du hier eine Gleichung beweisen sollst, wundert mich das schon ein bisschen...
> [mm]\bruch{1}{1 * 2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2 * 3}[/mm] + ... + [mm]\bruch{1}{n(n + 1)}[/mm]
> = [mm]\bruch{n}{n + 1}[/mm]
>
> Was ist jetzt x in der Bernoulli Gleichung???
Bist du sicher, dass du das mit Bernoulli beweisen sollst? Mit Induktion geht das nämlich sehr schön. Du kannst übrigens den linken Teil übersichtlicher schreiben als:
[mm] \summe_{i=1}^n\bruch{1}{i(i+1)}
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:02 So 06.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Ich meinte ungleichun tschuldigung. Ich hab jetzt auch erstmal mit der VI und dem summenzeichen angefangen weil ich das auch einfacher fand. jetzt habe ich das gemacht hänger aber fest. folgendes habe ich:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i(i + 1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n + 1}
[/mm]
Behauptung:
[mm] \summe_{i=1}^{n + 1} \bruch{1}{i(i + 1)} [/mm] = [mm] \bruch{n + 1}{n + 2}
[/mm]
Beweis:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i(i + 1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)((n+1) + 1)}= \bruch{n}{n + 1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{i(i + 1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n + 1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2 + 3n + 2}
[/mm]
// Gleichnamig machen
= [mm] \bruch{n^3 + 3n^2 + n - 1}{n^3 + 4n^2 + 5n +2}
[/mm]
jetzt komme ich aber nicht weiter... soll ja auf das kommen:
[mm] \bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
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Hallo nochmal!
Also, ich hoffe, dass ich zu dieser späten Stunde keinen Blödsinn hier schreibe... Aber ich hatte die Aufgabe vorhin schon gerechnet und aufgeschrieben. 
> Ich meinte ungleichun tschuldigung. Ich hab jetzt auch
> erstmal mit der VI und dem summenzeichen angefangen weil
> ich das auch einfacher fand. jetzt habe ich das gemacht
> hänger aber fest. folgendes habe ich:
Also musst du es nicht unbedingt mit Bernoulli machen? Wie kamst du denn darauf?
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i(i + 1)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n + 1}[/mm]
Hast du den Induktionsanfang auch gezeigt? Naja, der ist ja einfach, aber wenn du die Aufgabe abgibst, musst du ihn auf jeden Fall dazu schreiben!
> Behauptung:
> [mm]\summe_{i=1}^{n + 1} \bruch{1}{i(i + 1)}[/mm] = [mm]\bruch{n + 1}{n + 2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beweis:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i(i + 1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(n+1)((n+1) + 1)}= \bruch{n}{n + 1}[/mm]
Na - hier fehlt aber die Hälfte - da muss doch noch [mm] \bruch{1}{(n+1)((n+1) + 1)} [/mm] auf der rechten Seite als Summand dazu. Ich nehme an, du hast hier direkt die Induktionsvoraussetzung angewand.
> [mm]\bruch{1}{i(i + 1)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n + 1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n^2 + 3n + 2}[/mm]
>
> // Gleichnamig machen
>
> = [mm]\bruch{n^3 + 3n^2 + n - 1}{n^3 + 4n^2 + 5n +2}[/mm]
Hier hast du es dir ein bisschen umständlich gemacht. Im Nenner des zweiten Bruches steht (n+1)(n+2), das heißt, du brauchst zum gleichnamig machen nur mit (n+2) erweitern. Dann kannst du den Zähler so umformen, dass du mit (n+1) kürzen kannst, und dann steht das Ergebnis schon da.
> jetzt komme ich aber nicht weiter... soll ja auf das
> kommen:
>
> [mm]\bruch{n+1}{n+2}[/mm]
Genau - das soll rauskommen - und bei mir tut es das auch. Aber vielleicht machst du das auch besser morgen bzw. heute früh.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 06.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
So, hier jetzt mal vollständig:
Induktionsanfang: n=1
Behauptung: [mm] \summe_{i=1}^{1} \bruch{1}{i(i+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1}
[/mm]
Beweis: [mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] bruch{1}{2} = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Induktionsschritt: n -->n+1
Induktionsannahme: [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i(i+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1}
[/mm]
Behauptung: [mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{i(i+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
Beweis: [mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{i(i+1)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i(i+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i(i+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n(n+2)-1}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^2+2n-1}{n^2+3n+2}
[/mm]
So weit so gut. Denke das haut hin oder? Aber den letzten schritt bekomme ich nicht hin.... :( das das dann so aussieht:
[mm] \bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 So 06.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Du hast einen Vorzeichenfehler eingebaut.
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i(i+1)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier muss es heißen:
[mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i*(i+1)} \ = \ \bruch{n}{n+1} \ \red{+} \ \bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
Damit erhalten wir dann:
[mm]= \ \bruch{n*(n+2) \ \red{+} 1}{(n+1)*(n+2)}[/mm]
[mm]= \ \bruch{n^2 + 2n+1}{(n+1)*(n+2)}[/mm]
[mm]= \ \bruch{(n+1)^2}{(n+1)*(n+2)}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 So 06.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Ok alsoich dachte ich ziehe den Term [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] auf die rechte Seite in dem ich das halt minus mache... normal bei gleichungen halt... warum also nicht???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 So 06.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
> Ok alsoich dachte ich ziehe den Term [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
> auf die rechte Seite in dem ich das halt minus mache...
> normal bei gleichungen halt... warum also nicht???
Weil Du hier keine Gleichung in dem Sinne hast, bei der Du einfach was auf beiden Seiten abziehen kannst, sondern lediglich eine Gleichheitskette.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:50 So 06.11.2005 | | Autor: | tobi.m |
Hallo,
ich kenne das ein bisschen anders.
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1+n-n}{n(n+1)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{n+1}{n(n+1)}-\bruch{n}{n(n+1)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1} [/mm] = [mm] (1-\bruch{1}{2})+(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3})+...+(\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n})+(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1})
[/mm]
da fliegt dann in der Mitte alles raus und [mm] 1-\bruch{1}{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] bleibt übrig.
Wenn mich nicht alles täuscht ist das dann auch der Beweis von Bernoulli (zumindest wenn man in Basel studiert)
Gruss Tobias
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