2. Isomorphiesatz < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Sa 17.11.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Der 2. Isomorphiesatz besagt, dass gilt: [mm] (S_4/V_4)/(A_4/V_4) \cong S_4/A_4. [/mm] Rechne das zu Fuß nach, d.h. bestimme für jedes Element in [mm] S_4 [/mm] die Restklasse in [mm] S_4/V_4 [/mm] und davon wiederum die Restklasse in [mm] A_4/V_4, [/mm] um es dann mit einer Restklasse von [mm] A_4/V_4 [/mm] in Beziehung zu setzen. |
Hallo, bräuchte wieder mal Hilfe...
Wie man ungefähr vorgehen soll, sagt ja schon die Aufgabe. Allerdings hapert es an der praktischen Umsetzung... Ich kenne zwar die Elemente der einzelnen Gruppen, weiß aber z.B. nicht, wie ich für jedes Element in [mm] S_4 [/mm] die Restklasse [mm] S_4/V_4 [/mm] bestimmen soll....
[mm] V_4 [/mm] ist übrigens die Kleinsche Vierergruppe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, du brauchst also eine Idee, wie man ein Element aus $ [mm] (S_4/V_4)/(A_4/V_4)$ [/mm] geeignet nach [mm] $S_4/A_4$ [/mm] bringen kann. Nun versuchen wir mal dem Hinweis zu folgen. Sei [mm] \sigma \in S_n. [/mm] Die Restklasse von dem [mm] \sigma [/mm] in [mm] $S_4/V_4$ [/mm] ist dann [mm] $\sigma V_4$. [/mm]
[mm] $\sigma V_4$ [/mm] ist nun also ein bestimmtes Element in [mm] $S_4/V_4$. [/mm] Nun guckst du dir die Restklasse von [mm] $\sigma V_4$ [/mm] in $ [mm] (S_4/V_4)/(A_4/V_4)$ [/mm] an. Diese ist dann, wie vorher (nur etwas mehr Schreibarbeit), einfach [mm] $(\sigma V_4)\frac{A_4}{V_4}$.
[/mm]
In [mm] $S_4/A_4$ [/mm] herauskommen muss ja ein Element, das irgendwie wie [mm] $\tau A_4$ [/mm] aussieht für ein [mm] $\tau \in S_4$. [/mm] Worauf könnte man [mm] $(\sigma V_4)\frac{A_4}{V_4}$ [/mm] nun abbilden, um so etwas zu erhalten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 17.11.2012 | | Autor: | rollroll |
Hm... Also muss ich dann wirklich für jedes Elemet aus [mm] S_4 [/mm] dieses mir einem Element aus [mm] V_4 [/mm] verknüpfen, um [mm] \sigma V_4 [/mm] zu erhalten?
Weil man es ja ,,zu Fuß“ machen soll....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Also diese Konstruktion mit dem [mm] $\sigma V_4$ [/mm] z.B. ist ja die "normale" Konstruktion, wenn man sich Faktorgruppen anschaut. Wenn ich eine Gruppe G habe und einen Normalteiler N in G, dann haben die Elemente in $G/N$ ja immer die Form $gN$ für $g [mm] \in [/mm] G$. Das ist ja Standard und mehr habe ich bis jetzt auch nicht benutzt.
Erstmal schaue ich mir nur [mm] $G=S_4$ [/mm] mit Normalteiler [mm] $N=V_4$ [/mm] an [mm] \Rightarrow [/mm] die Dinger aus $G/N$ sehen aus wie [mm] $\sigma V_4$ [/mm] mit [mm] $\sigma \in S_4$. [/mm]
Dann ist mein neues G [mm] $G'=S_4/V_4$ [/mm] mit Normalteiler [mm] $N'=A_4/N_4$. [/mm] Und die Elemente in $G'/N'$ sehen dann so aus wie [mm] $(\sigma V_4)A_4/V_4$. [/mm]
Es sieht vielleicht etwas abschrecken aus, aber es ist immer der gleiche Prozess.
[mm] \sigma [/mm] war einfach eine Permutation in [mm] S_4. $\sigma V_4$ [/mm] die die Restklasse von [mm] $\sigma$ [/mm] in [mm] $S_4/V_4$. [/mm] Und [mm] $(\sigma V_4)A_4/V_4$ [/mm] ist nochmal die Restklasse von [mm] $\sigma V_4$ [/mm] in [mm] $(S_4/V_4)/(A_4/V_4)$, [/mm] also sozusagen eine Restklasse von einer Restklasse.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Sa 17.11.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, das habe ich schon halbwegs verstanden, habe aber immernoch Probleme damit, das jetzt praktich umzusetzen. Wenn ich mir mal konkret (und man soll es ja konkret mit Zahlen machen) ein [mm] \sigma [/mm] aus [mm] S_4 [/mm] herhole, z:b. [mm] \sigma [/mm] = (12) und dann soll ich ja [mm] \sigmaV_4 [/mm] bilden , also [mm] (12)V_4. [/mm] Heíßt das , ich muss (12)(12)(23), (12)(13)(24) und (12)(14)(23) bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Du kannst das Element ja mal ausrechnen, wenn du willst, damit du man etwas Handfestes da stehen hast. Genau, [mm] (12)V_4 [/mm] ist dann eine 4-elementige Menge. Und von der musst du dann später nochmal eine Restklasse bilden. Das kann etwas ungemütlich werden. Du kannst es aber mal für das Beispiel [mm] $\sigma V_4$ [/mm] durchrechnen, wenn du magst.
Mein Vorschlag war eher der folgende:
Du hast also ein [mm] $(\sigma V_4)\frac{A_4}{V_4}$ [/mm] aus [mm] $(S_4/V_4)/(A_4/V_4)$ [/mm] und daraus willst du irgendwie ein [mm] $\tau A_4$ [/mm] machen. Am besten soll die entstehende Abbildung noch ein Isomorphismus sein, aber lassen wir das erst mal beiseite. Was mir zuerst eingefallen ist ist folgendes: Bei [mm] $(\sigma V_4)\frac{A_4}{V_4}$ [/mm] kürze ich ganz frech die beiden [mm] V_4 [/mm] weg. Dann bleibt [mm] $\sigma A_4$ [/mm] stehen und das Element ist von meiner gewünschten Form, also es liegt in [mm] $S_4/A_4$.
[/mm]
Nun müsste man zeigen, dass das Ding ein Homomorphismus ist, der sogar bijektiv ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Sa 17.11.2012 | | Autor: | rollroll |
Also i-wie verrechne ich mich andauernd bei den Permutationen. Habe jetzt folgendes raus:
(12)id=(12)
(12)(12)(34)=(34)
(12)(13)(24)=(1324)
(12)(14)(23)=(1423)
Muss ich das jetzt mit allen anderen 23 Elementen aus [mm] S_4 [/mm] durchrechnen? Wenn ja, was soll da raus kommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 19.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja, wie gesagt, das kannst du mal beispielhaft für ein Element durchziehen. Es gilt also [mm] $(12)V_4=\{(12), (34), (1324), (1423)\}. [/mm] Mit dem Element kannst du mal versuchen weitermachen. Aber das trägt nicht zur Erfüllung der Aufgabe bei, sondern nur zum Verständnis darüber, womit man da überhaupt rechnet.
Die aufgabe verlangt nicht, dass du das mit jedem Element machst. Du kannst es so machen wie ich es vorgeschlagen habe. Da hast du zu Fuß einen Isomorphismus konstruiert. Mehr ist nicht verlangt.
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