20 Chips < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mi 05.04.2006 | | Autor: | NoClue21 |
Erstmal ein freudiges Hallo zusammen.
Ich habe eine kleine Frage, die sicherlich ganz einfach zu lösen ist, aber mit Logik hab ich's echt nicht so.
Bei einem Spiel darf ein Spieler 20 grüne und 20 schwarze Chips auf zwei Hüte beliebig verteilen. Anschließend werden ihm die Augen verbunden. Die Chips jedes Hutes werden vermischt und die Hüte werden umgestellt. Dann darf er aus einem Hut einen Chip ziehen. Bei einem grünen Chip erhält er einen Preis, bei einem schwarzen geht er leer aus. Wie muß der Spieler die Chips auf die Hüte verteilen, damit seine Gewinnchance möglichst groß ist?
Könnt ihr mir da bitte mal weiter helfen? Wenn's geht mit Erklärung? - Vielen Lieben Dank
NC - Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Mi 05.04.2006 | | Autor: | sirprize |
Hi!
Ohne jetzt zuviel verraten zu wollen: Eine sehr ungleichmäßige Verteilung hilft in diesem Fall weiter - mit einem unglaublich guten Ergebnis. Welche es ist (und warum), überlass ich mal deiner Vorstellungskraft 
Falls du nicht weiterweisst: Schreib mal ein paar Ansätze auf, damit die anderen daran anknüpfen können.
Viele Grüße,
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mi 05.04.2006 | | Autor: | NoClue21 |
Also wenn er die Chips 50/50 aufteilen würde, dann hätte er eine Gewinnchance von 0,5.
Werden 2 grüne für jeden Schwarzen Chips in einen der Hüte verteilt, ergibt sich für den einen Hut eine Gewinnchance von 0,65 und für den anderen dementsprechend 0,35. Aber egal wie ich die Chips verteile bei einem Hut ist die Gewinnchance immer schlechter.
Wüsste er natürlich wie die Hüte getauscht werden, dann wäre die Antwort klar, aber er weiß es ja nicht. *grübel*
Immer noch keine Ahnung :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mi 05.04.2006 | | Autor: | sirprize |
Hi,
schön dass du dir dazu Gedanken machst
Dann will ich mal noch nen Tipp dazu geben: Lege alle schwarzen Chips in einen Hut. Wenn du dir dann noch überlegst, wie du am besten die grünen verteilst, hast du schon deine Antwort.
Viele Grüße,
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Fr 07.04.2006 | | Autor: | NoClue21 |
20 schwarze Chips in den einen Hut + 19 grüne und einen grünen in den anderen Hut? - Das Ergebnis habe ich von einem Kumpel, aber selbst wäre ich nicht drauf gekommen. Warum ist hier die Gewinnchance am größten?
Wie kann man das am besten errechnen bzw. ist das wirklich nur Logik was dahintersteckt?
Viele Grüße
NC
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Fr 07.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi noclue,
ich bin mir sicher, dass es sich auch "hart"(=rechnerisch) beweisen lässt, aber dass ist glaube ich etwas kompliziert. Vielleicht gibt auch ne einfache Methode, aber sie fällt mir nicht ein. Du müsstest eine Gewinnwahrscheinlichkeitsfunktion aufstellen, die dann von 2 Variablen (gr und schw Chips) abhängt und diese dann (über 2 Variable) maximieren. Die Fkt. aufstellen geht noch relativ einfach:
P(Gewinn)=0,5*P(Gewinn in Hut 1)+0,5*P(Gewinn in Hut 2)
mit P(Gewinn in Hut [mm] 1)=\bruch{G}{G+B} [/mm] und
P(Gewinn in Hut [mm] 2)=\bruch{(20-G)}{(20-G)+(20-B)}, [/mm] wobei
G:Anzahl der grünen Chips
B:Anzahl der schwarzen Chips
Das ist ne Funktion von [mm] \IR^2\to\IR, [/mm] die man rechnerisch maximieren kann, aber ich glaube durch Überlegen allein wird es eigentlich ganz plausibel, warum dein Ergebnis das Richtige sein muss.
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Fr 07.04.2006 | | Autor: | prfk |
Ich hab mir gerade einen "halben" Beweis für die Aufgabe überlegt. Er basiert auf trivialen Annahmen die sofort einsichtig sind.
Es werden folgende Variablen Eingeführt:
[mm]G_{1}[/mm]:= grüne Chips in Hut 1
[mm]G_{2}[/mm]:= grüne Chips in Hut 2
[mm]B_{1}[/mm]:= schwarze Chips in Hut 1
[mm]B_{2}[/mm]:= schwarze Chips in Hut 2
mit [mm]G_{1}+G_{2} = B_{1}+B_{2}=20[/mm] (*)
Einzige Vorrausetzungen sind:
Chance in Hut 1 einen grünen Chip zu ziehen ist [mm]P_{1G}=\bruch{G_{1}}{G_{1}+B_{1}}[/mm]
Chance in Hut 2 einen schwarzen Chip zu ziehen ist [mm]P_{2S}=\bruch{B_{2}}{B_{2}+G_{2}}[/mm]
So nun gehts los:
Es ist klar, dass die Gesamtchance auf einen Gewinn am größten wird, wenn ich in beiden Hüten die größtmöglichen Einzelchancen habe. (Diesen Beweis zu erbringen ist im Zweifelsfall ein Kinderspiel) Dies erreiche ich, in dem ich in Hut 1 die Chance auf einen grünen Chip maximiere und in Hut 2 die chance auf einen schwarzen Chip minimiere.
Ich schau mir nun zunächst den Bruch [mm]P_{1G}=\bruch{G_{1}}{G_{1}+B_{1}}[/mm] an. Er wird natürlich maximal, wenn [mm] B_{1} [/mm] = 0 und [mm] G_{1}\ge1 [/mm] ist.
Daraus folgt mit (*):[mm] B_{2} = 20 - B_{1} =20[/mm]
Aus [mm] G_{1}\ge1 [/mm] und (*) folgt sofort [mm] G_{2}\le19
[/mm]
Damit wissen wir schonmal, dass alle schwarzen Chips in den Hut 2 müssen. Jetzt bleibt noch die Verteilung der grünen Chips zu klären. Dazu widmen wir uns dem zweiten Bruch [mm]P_{2S}=\bruch{B_{2}}{B_{2}+G_{2}}[/mm]
Dieser soll minimal werden. Dies geschieht, ebenfalls sofort ersichtlich, wenn [mm] G_{2} [/mm] maximal wird.
Aus der vorherigen Betrachtung wissen wir, dass gilt: [mm] G_{2}\le19. [/mm] Daraus folgt dann dass [mm] G_{2}=19 [/mm] sein muss.
Was meint ihr dazu? Wäre das als Beweis zulässig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi,
EDIT
ich bin anderer Meinung, als mein Vorschreiber. Die Aufteilung ist egal. Da die Hüte nochmal gemischt werden, ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit immer 0,5. Um das Einzusehen, sei p die relative Häufigkeit der Grünen Chips(also die Gewinnw'keit) in Hut 1. Dann ist 1-p die Gewinnw'keit in Hut 2.
P(gewinn)
=P(Hut 1 gewählt)*p+P(Hut 2 gewählt)*(1-p)
=0,5(p+(1-p) )
=0,5
Alles klar?
Mein Vorschreiber hat recht, ich hab nen Denkfehler drin. Also viel Spass beim knobeln 
L G walde
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