2 < (1+1/n)^n < 3 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mo 24.10.2005 | | Autor: | t_irgang |
Hallo,
entschuldigt die vielen Fragen.
Ich habe folgendes Problem:
Ich muss die Ungleichung 2<(1+ [mm] \bruch{1}{n} )^{n} [/mm] <3 für n [mm] \ge [/mm] 2 beweisen und habe keine Ahnung wie ich das anstellen soll. Ich denke man kann die Ungleichung durch vollsändige Induktion beweisen, habe aber keine Idee wie.
Für n=1 stimmt die Gleichung ( 2< 2,25 <3) aber beim Schritt 2 ( 2<(1+ [mm] \bruch{1}{n+1} )^{n+1} [/mm] <3 komme ich nicht weiter (und das seit 3 Tagen). Ich habe mir inzwischen überlegt ich könnte die Aufgabe auch durch die Steigung des Graphen (f'(x)=(1+ [mm] \bruch{1}{n} )^{n} [/mm] *ln( 1+ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ) [mm] \ge [/mm] 0 , habe aber keine Ahnung ob die Ableitung stimmt) und den Grenzwert gegen + [mm] \infty [/mm] beweisen, weiss aber auch nicht wie ich den Grenzwert besimmen soll. Kann mit (mit ganz vielen bitte) jemand einen Tip geben wie ich die Aufgabe am besten angehe, bzw. wie ich weiterkomme. Und stimmt die Ableitung (in der Formelsammlung steht nur [mm] a^{x} [/mm] wird zu [mm] a^{x} [/mm] * ln(a)) ?
MFG
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
> Hallo,
> entschuldigt die vielen Fragen.
>
> Ich habe folgendes Problem:
> Ich muss die Ungleichung 2<(1+ [mm]\bruch{1}{n} )^{n}[/mm] <3 für n
> [mm]\ge[/mm] 2 beweisen und habe keine Ahnung wie ich das anstellen
> soll. Ich denke man kann die Ungleichung durch vollsändige
> Induktion beweisen,
Hallo, das glaube ich auch.
habe aber keine Idee wie.
> Für n=1 stimmt die Gleichung ( 2< 2,25 <3)
Nein: 2< 2<3 und das stimmt nicht. Macht aber nichts, Du sollst es ja für [mm]\ge[/mm] 2 beweisen. Also wäre Dein I.A. n=2.
Ich würde mir das Ganze in zwei Aussagen zerlegen:
(1+ [mm]\bruch{1}{n} )^{n}[/mm] -2>0 und
(1+ [mm]\bruch{1}{n} )^{n}[/mm]-3<0.
Möglicherweise hilft Dir auch der Binomische Satz. Von Steigungen und so würde ich eher abraten.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 25.10.2005 | | Autor: | t_irgang |
Danke fuer die Antwort, aber ich habe keine Ahnung wie ich mit dem binomischen Satz weiterkommen soll. Ich kann mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung beweisen, dass [mm] (1+1/n)^n \ge [/mm] 2 ist, dann komme ich aber nicht mehr weiter.
MFG
Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Di 25.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Di 25.10.2005 | | Autor: | t_irgang |
Hallo Stefan,
danke fuer die Antwort, ich kann die PDF-Datei aber nicht [mm] downloaden\oeffnen. [/mm] Meldung: Zugriff verweigert. Wie kann ich sonst an das Dokument kommen bzw. kannst du es ins Forum hochladen.
MFG
Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Di 25.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich habe mal einen Screenshot gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
