2 Gleichungen 4 Variable < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Di 18.06.2013 | | Autor: | Sindy00 |
| Aufgabe | 1) a*b*c*d=7,47
2) a+b+c+d=7,47 |
Ich komme einfach nicht auf eine Lösung geschweige denn auf einen vernünftigen Lösungsansatz. Zunächst habe ich versucht nach einer Variablen aufzulösen und sie in die andere Gleichung ein zu setzen.
Des Weiteren habe ich an den Gauß-Algorythmus gedacht, bin hier aber überhaupt nicht weiter gekommen, da ich ja in der ersten Gleichung a*b*c*d habe und im Gauss damit irgendwie nicht klar komme.
Dann hab ich einfach mal Gleichgesetzt
abcd=a+b+c+d
dachte ich komme vielleicht weiter wenn ich jetzt mal durch abcd teilen würde
1=a/abcd + b/abcd + c/abcd +d/abcd
was ja gekürzt
1=1/bcd + 1/acd + 1/abd + 1/abc ist
und
dann den gemeinsamen Nenner
[mm] 1=4/(a^3 b^3 c^3 d^3) [/mm] geben dürfte und wenn ich jetzt wieder mal dem Nenner nehme
[mm] a^3 b^3 c^3 d^3=4 [/mm] rauskommt.
Aber irgendwie nützt mir das ganze überhaupt nichts.
Was kann ich machen? Hat jemand eine Idee wie ich a; b, c; und d berechnen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bevor wir uns den Kopf zerbrechen, sag' uns mal, wo diese beiden Gleichungen herkommmen, wie also die ursprüngliche Aufgabenstellung lautet.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Di 18.06.2013 | | Autor: | Sindy00 |
Also die Geschichte ist die. Eine Frau geht einkaufen, abends rechnet sie die Rechnungen zusammen. Sie drückt dabei auf die Maltaste. Ihr Mann protestiert, du musst addieren. Er gibt die vier Belege in den Taschenrechner ein und addiert. Es kommt das selbe heraus.
a,b,c und d sind also nicht gleich, sie sind auch nicht negativ und es kommt ein Betrag raus, der Sinn macht wenn man an Geld denkt.
Reicht das?
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> Reicht das?
Hallo,
ja.
Ich würde tatsächlich mal Marius' Idee weiterverfolgen.
LG Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Di 18.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde bei [mm] $a\cdot b\cdot c\cdot [/mm] d=7,47$ mal über die Primfaktorzerlegung von 747 nachdenken, es gilt:
[mm] 747=3^{2}\cdot83
[/mm]
Probiere damit mal einige Ideen aus.
Eine eindeutige Lösung dieses Problems wird es nicht geben.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Di 18.06.2013 | | Autor: | Sindy00 |
Also Ich komme auch mit den Primfaktoren nicht wirklich weiter. Ich habe jetzt versucht auf unterschidliche Art und Weise die Primfaktoren, bzw. Vielfache für a,b,c und d einzusetzten. Aber so komme ich doch nie zu einer Lösung, oder hattest du eine andere Idee was mit den Faktoren zu machen?
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Also ich hab mir mal folgendes überlegt, weil mir die Primfaktoren auch nichts geholfen haben (wenn man beide Gleichungen auf 747 bringen will, hat man links auf einmal 8 Variablen stehen, behält man links die Variablen gleich, bekommt man beim Produkt $7,47 [mm] \cdot 10^8$ [/mm] als Wert, also auch sehr unübersichtlich und dann sind die Primfaktoren wertlos):
- Wenn das 4 Geldbeträge sind, dann haben sie max. 2 Nachkommastellen (NKS).
- Wenn das Produkt von 4 Geldbeträgen 2 NKS haben soll, müssen diese 4 Beträge insgesamt ebenfalls 2 NKS haben (z.B. 1,30 EUR mal 2,70 EUR sind 3,51 EUR). Dafür gibt es nur zwei Möglichkeiten, entweder zwei Beträge haben jeweils eine NKS (wie im Beispiel) oder es gibt einen Betrag mit 2 NKS.
- Da die Summe aber 2 (echte) NKS hat, muss mind. einer der 4 Beträge ebenfalls eine zweite NKS haben.
- Daraus folgt für mich, dass es sich um 3 ganzzahlige Beträge handeln muss und einen mit 2 NKS.
- Hinter dem Komma ändern die 3 ganzzahligen Beträge bei der Summe nichts, d.h. der Betrag MIT den 2 NKS ist x,47 EUR.
- Für die Summe gibt es jetzt diverse Möglichkeiten der Vorkommastellen (z.B. 1,2,2,2 oder 1,1,2,3).
- Beim Produkt ist es aber jetzt so, dass sich Probleme mit den NKS ergeben, wenn man den Betrag MIT NKS mit etwas anderem als 1 multipliziert (da ja nur 1, 2, 3 oder max. 4 als Vorkommazahlen in Frage kommen und $2 [mm] \cdot [/mm] 0,47 = 0,94$ und $3 [mm] \cdot [/mm] 0,47 = 1,41$ sowie $4 [mm] \cdot [/mm] 0,47 = 1,88$, d.h. dann sind die NKS ruiniert).
Damit komme ich zu keiner Lösung - wird also ein Denkfehler drin stecken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Di 18.06.2013 | | Autor: | Sindy00 |
Hallo,
Danke für deine Antwort. Aber mal davon abgesehen, dass bei deiner Lösung a=b=c wäre geht das Ganze nicht auf denn:
1*1*1*4,47=4,47
1+1+1+4,47=7,47
4,47 ungleich 7,47
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Stimmt - nach den ganzen Zahlen war ich verwirrt, dann ist meine Lösung falsch. Habe den Text entsprechend korrigiert.
Leider kennen wir immer noch nicht die Aufgabenstellung, sondern nur deine Schlussfolgerungen daraus (z.B. alle Werte unterschiedlich).
Vermutlich steckt in meiner Logik mit den Nachkommastellen noch ein weiterer elementarer Fehler, ansonsten kann es nämlich keine Lösung geben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Di 18.06.2013 | | Autor: | Sindy00 |
Ich habe die Aufgabenstellung so bekommen wie ich es beschriben habe. Mündlich überliefert. Das ganze soll ein Matherätsel sein. Hatte es vor Jahren mal bekommen, bin aber nie dazu gekommen. Vor ein paar Tagen habe ich meinen Notitzzettel wiedergefunden und mir mal dazu Gedanken gemacht. Leider habe ich immernoch keinen vernünftigen Lösungsansatz gefunden, obwohl ich schon alles Mögliche Umgeformt habe. Die Primfaktorenzerlegung hat bei mir auch noch nichts gebracht.
Ich habe schon versucht in Faktoren zu zerlegen mit der Prämisse, dass diese höchstens zwei Nachkommastellen haben dürfen. Aber das ist auch mehr ein probieren als eine vernünftige Möglichkeit zur Lösung.
Mittlerweile habe ich schon einen ganz anderen Ansatz versucht über ein allgemeines Viereck. Aber auch das hat bisher nichts gebracht.
Allerdings denke ich ist was dran, dass es eben jeweils nur höchstens zwei Nachkommastellen geben darf. Aber was ich mit der Information anfangen soll ist mir noch ein Rätsel.
Der Mann, der mir damals die Aufgabe mitgegeben hat sagte es gibt eine Lösung. Allerdings werde ich ihn wohl nicht mehr fragen können... Habe ihn schon Jahre nicht gesehen.
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> Also Ich komme auch mit den Primfaktoren nicht wirklich
> weiter. Ich habe jetzt versucht auf unterschidliche Art und
> Weise die Primfaktoren, bzw. Vielfache für a,b,c und d
> einzusetzten. Aber so komme ich doch nie zu einer Lösung,
> oder hattest du eine andere Idee was mit den Faktoren zu
> machen?
Hallo,
ich weiß nicht genau, was Du getan hast.
Hast Du mit 1, 3, 3, 83 gearbeitet?
Das wäre zu kurzsichtig...
Ich würde am liebsten so rechnen, daß a,b,c,d natürliche Zahlen sind.
Zu lösen ist das Gleichungssystem
[mm] \bruch{747}{100}=\bruch{a}{100}+\bruch{b}{100}+\bruch{c}{100}+\bruch{d}{100}
[/mm]
[mm] \bruch{747}{100}=\bruch{a}{100}*\bruch{b}{100}*\bruch{c}{100}*\bruch{d}{100}
[/mm]
<==>
747=a+b+c+d
[mm] 5^6*2^6*3^2*83=a*b*c*d
[/mm]
Da gibt's ja schon einige Möglichkeiten, die Primfaktoren zu verteilen auf a,b,c,d. Die 1 hat man auch noch zur Verfügung.
Gerechnet habe ich nichts - ist mir gerade zuviel.
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Di 18.06.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
gerechnet habe ich auch nichts, aber (ausgehend von der Primfaktorzerlegung) etwas herumprobiert und zumindest eine Lösung gefunden : 0,90 ; 2,00 ; 1,25 ; 3,32
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Sindy00 |
Hallo,
Das Ergebnis passt tatsächlich. Aber ich habe noch nicht verstanden wie du darauf kommst.
> gerechnet habe ich auch nichts, aber (ausgehend von der
> Primfaktorzerlegung) etwas herumprobiert und zumindest eine
> Lösung gefunden : 0,90 ; 2,00 ; 1,25 ; 3,32
Vielleicht bin ich auch einfach nicht tief genung drin. Deshalb darf ich fragen wie du durch herumprobieren auf das Ergebnis gekommen bist. Primfaktorzerlegung habe ich versucht. Bin aber nicht sehr weit gekommen, da vielleicht mein Schulmathe nicht ganz ausreicht und ich zwar den kgV berechnen kann und dann noch ein paar andere Primfaktoren ausprobiert habe.
Jetzt aber zu deinem Ergebnis und meinen fragen dazu. 9 ist ja noch ein Primfaktor und 2 auch. Wie kommst du aber darauf, 0,9 und 2,0 zu verwenden? Die anderen beiden Zahlen sind doch keine Primfaktoren? Wie bist du denn darauf gekommen?
Gibt es vielleicht auch ein Faktorierungsverfahren, dass ich ggf. anwenden kann? Wenn ja, wie sieht es aus und wie funktioniert es. Ich möchte schließlich nicht nur ein Ergebnis haben, sondern auch verstehen, wie man darauf kommt. Habe gestern Abend noch lange rumprobiert bringe es aber aus eigener Überlegung nicht zu dem Ergebnis. Wie kann ich also vorgehen?
Danke schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn man mal die Preise in Cent-Beträgen rechnet, dann muss das Produkt 747000000 sein. Das hat die Primfaktoren 83, 3, 3 und dann noch viele 2en und 5en, das hatte Angela ja schon geschrieben.
Ich habe mir als erstes überlegt, welches Vielfache des 83 Cent-Betrages wohl am ehesten in Frage kommen könnte:
1x83 = 0,83€, 2x83=1,66€, 3x83=2,49€, 4x83=3,32€, 5x83=4,15€, 6x83=4,98€, 8x83=6,64€ sind mögliche Kandidaten, wobei der letzte sicher schon zu groß ist, da dann zu viele €-Beträge <1 sein müssen (wegen der Summe) und dann deren Produkt nicht mehr 7,47 wird.
Am aussichtsreichsten für das weitere Probieren erschien mir der Betrag mit den 2 Cent am Ende, weil die anderen Primfaktoren 5en enthalten und daher die Endsumme, die mit 7 Cent endet, leicht gebildet werden kann.
Die übrigen Faktoren 3, 3, 100, 100, 50, 50 habe ich erstmal recht willkürlich zu Preisen zusammengefasst : Erster Versuch :120ct, 75ct, 250ct. Damit stimmt das Produkt, aber die Summe war 7,77 und nicht 7,47. Damit die Summe kleiner wird, aber das Produkt gleich bleibt, nehme man zwei Zahlen, die weit auseinanderliegen, multipliziere die eine und teile die andere durch dieselbe Zahl, so dass die beiden Zahlen anschließend näher zusammen liegen. Grund : Unter allen Rechtecken mit gegebenem Flächeninhalt hat das Quadrat den kleinsten Umfang.
Die zweite Zahl mit 2 multipliziert und die dritte durch 2 geteilt ergab : Zweiter Versuch : 1,20 , 1,50 , 1,25 und die Summe 7,27. Das war also zu viel des Guten.
Jetzt habe ich mir die ersten beiden Zahlen genommen, die erste mit 3/4 multipliziert, die zweite durch 3/4 geteilt und erhielt im dritten Versuch 0,90 , 2,00 , 1,25 und 3,32, was zufällig gepasst hat.
Du siehst : keine strenge Methode, aber ein einigermaßen zielgerichtetes Raten.
Die Frage, ob die Lösung eindeutig ist, bleibt offen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Sindy00 |
Als erstes ein herzliches Dankeschön. Ich konnte das komplett nachvollziehen und habe nach eigenen Versuchen und Probieren nun auch die Lösung gefunden. Ich habe mich dabei immer angehähert und bin dann auf das selbe Ergebnis gekommen.
Nun noch eine kleine Frage. Jetzt wo wir zumindest ein Ergebnis kennen
Gibt es eine Mathematische Möglichkeit auf dieses Ergebnis zu kommen, dass weniger herumprobieren ist? Und wie könnte man ausschließen, dass es noch eine zweite Lösung gibt?
Interessiert mich jetzt einfach mal brennend. Ich hätte jetzt jedenfalls mit herumprobieren erst mal keine zweite Lösung gefunden.
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Hallo Sindy00,
> Als erstes ein herzliches Dankeschön. Ich konnte das
> komplett nachvollziehen und habe nach eigenen Versuchen und
> Probieren nun auch die Lösung gefunden. Ich habe mich
> dabei immer angehähert und bin dann auf das selbe Ergebnis
> gekommen.
>
> Nun noch eine kleine Frage. Jetzt wo wir zumindest ein
> Ergebnis kennen
>
> Gibt es eine Mathematische Möglichkeit auf dieses Ergebnis
> zu kommen, dass weniger herumprobieren ist? Und wie könnte
> man ausschließen, dass es noch eine zweite Lösung gibt?
>
Die Möglichkeit gibt es, ist aber von Hand zu langwierig.
Deshalbe ich ein Programm geschrieben.
Zunächst habe ich die Teiler von 74700000 bestimmt.
Dann bin ich alle Kombinationen der Teiler durchgegangen
und immer geschaut nach der Summe bzw. Produkt.
Dabei ist herausgekommen, dass die angegebene Lösung
meines Vorredners bis auf Permutation die einzige ist.
> Interessiert mich jetzt einfach mal brennend. Ich hätte
> jetzt jedenfalls mit herumprobieren erst mal keine zweite
> Lösung gefunden.
Gruss
MathePower
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