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[mm] 26.b.\\
[/mm]
Zu berechnen: [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+5n+4}$\\
[/mm]
[mm] $(n+a)*(n+b)=n²+5n+4$\\
[/mm]
[mm] $a+b=5\\
[/mm]
[mm] a*b=4\\
[/mm]
[mm] a=\frac{b}{4}\\
[/mm]
[mm] \frac{b}{4}+b=5\\
[/mm]
[mm] b=4\\
[/mm]
[mm] a=1\\
[/mm]
[mm] (n+1)*(n+4)=n^2+5n+4\\
[/mm]
[mm] \frac{1}{(n+1)*(n+4)}=\frac{c}{n+1}+\frac{d}{n+4}=\frac{c(n+4)+d(n+1)}{(n+1)*(n+4)}\\=\frac{cn+4c+dn+d}{(n+1)*(n+4)}=\frac{n*(c+d)+4c+d}{(n+1)*(n+4)}\\
[/mm]
[mm] c+d=0\\
[/mm]
[mm] d+4c=1\\
[/mm]
[mm] c=-d\\
[/mm]
[mm] d-4d=1\\
[/mm]
[mm] -3d=1\\
[/mm]
[mm] d=\frac{-1}{3} [/mm] $und$ [mm] c=\frac{1}{3}\\
[/mm]
[mm] \frac{1}{3*(n+1)}+\frac{-1}{3*(n+4)}=\frac{1}{n^2+5n+4}\\
[/mm]
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+5n+4}=\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3*(n+1)}+\frac{-1}{3*(n+4)})\\
[/mm]
[mm] =(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3*(n+1)})- [/mm] ( [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3*(n+4)})\\
[/mm]
[mm] =(\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{18}...)-(\frac{1}{15}+\frac{1}{18}+...)\\
[/mm]
[mm] =\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}=\frac{13}{36}$
[/mm]
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Hiho,
> Zu berechnen: [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n²+5n+4}[/mm]
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n²+5n+4}=\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3*(n+1)}+\frac{-1}{3*(n+4)})\\[/mm]
Bis hierhin stimmt das.
> [mm]=(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3*(n+1)})-[/mm] ( [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3*(n+4)})\\[/mm]
Das ist falsch.
Hier hast du einen Ausdruck der Form [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] zu stehen, welcher nicht definiert ist.
Dein Schritt ist also nicht möglich.
Bevor du das auseinanderziehst gehe von [mm] $\sum_{n=1}^\infty$ [/mm] über zu [mm] $\lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^k$ [/mm] und behandle die dann endliche Summe $ [mm] \sum_{n=1}^k$
[/mm]
Dort kannst du dann obigen Schritt durchführen und eine allgemeine Form finden, von der du den Grenzwert bilden kannst.
Indexverschiebung etc…
Gruß,
Gono
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Hi,
ok, also so?
[mm] \lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^k (\frac{1}{3*(n+1)}+\frac{-1}{3*(n+4)})=\lim_{k\to\infty} ((\sum_{n=1}^{k} \frac{1}{3*(k+1)})-(\sum_{n=1}^{k} \frac{1}{3*(k+4)}))\\
[/mm]
[mm] =\lim_{k\to\infty}((\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{18}...+\frac{1}{3*(k+1)})-(\frac{1}{15}+\frac{1}{18}+...+\frac{1}{3*(k+4)}))\\
[/mm]
[mm] =\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}=\frac{13}{36}$\\
[/mm]
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Hiho,
> [mm]=\lim_{k\to\infty}((\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{18}...+\frac{1}{3*(k+1)})-(\frac{1}{15}+\frac{1}{18}+...+\frac{1}{3*(k+4)}))\\[/mm]
> [mm]=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}=\frac{13}{36}$\\[/mm]
das vorletzte Gleichheitszeichen würde ich noch ausführlicher erklären.
Und lass doch mal das Ausschreiben der Summen sein, sondern schreibe das sauber als Summe hin und mache eine Indexverschiebung.
Das sagte ich dir vorhin schon…
Ich behaupte mal, da kürzt sich nicht alles raus und da hast du mit deinen "…" wenig Gründe das zu widerlegen.
Gruß
Gono
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naja, ich weiß halt nicht was da dann sonst stehen soll.
ich weiß auch nicht was ich da erklären soll, das folgt doch aus simplen einsetzen?
Kannst du bitte den Ansatz erklären wie man hier vorgeht?
das bringt doch wenig wenn ich hier im dunkeln rumtappse.
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Hiho,
was machst du bei Summen, die sich erst ab dem 1000. Glied auslöschen? Alle Summanden ausschreiben?
Nunja, hier ginge das in etwa so:
[mm] $\summe_{n=1}^k \frac{1}{n+1} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{k} \frac{1}{n+4} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^k \frac{1}{n+1} [/mm] - [mm] \summe_{n=4}^{k+3} \frac{1}{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{3} [/mm] + [mm] \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^k \frac{1}{n+1} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^k \frac{1}{n+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{k+2} [/mm] - [mm] \frac{1}{k+3} [/mm] - [mm] \frac{1}{k+4} [/mm] = [mm] \frac{13}{12} [/mm] - [mm] \frac{1}{k+2} [/mm] - [mm] \frac{1}{k+3} [/mm] - [mm] \frac{1}{k+4}$
[/mm]
Was passiert mit den letzten drei Summanden für [mm] $k\to\infty$?
[/mm]
Dass deine Art das zu lösen mit dem Aufschreiben der Summanden nicht funktioniert, sieht man relativ leicht an der Summe [mm] $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}$. [/mm] Wenn man das so macht wie du, wäre das ja womöglich:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} [/mm] = (1 - 1) + (1-1) + (1-1) + [mm] \ldots [/mm] = 0 + 0 + 0 + [mm] \ldots [/mm] = 0$
Aber es ginge ja auch:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} [/mm] = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + [mm] \ldots [/mm] = 1 + 0 + 0 + [mm] \ldots [/mm] = 1$
Und wie man sieht, kann ja nun nicht beides stimmen…
Gruß,
Gono
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Ah ok, danke ich probiers mal,
kann man bei einer Summe einen Faktor rausholen? Also in meiner Aufgabe z.b. das
1/3 aus der Summe holen und am ende nur die summe mit 1/3 multiplizieren?
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Hiho,
Ja das geht immer.
Gruß,
Gono
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Aso, ja dann hast du das doch (bis auf das *1/3) schon gelöst.
Die letzten Summanden gehen gegen 0.
Gibt es vielleicht Regeln für die Indize-Verschiebung?
Ganz klar ist mir das nicht.
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Hiho,
> Gibt es vielleicht Regeln für die Indize-Verschiebung?
die einzige Regel ist die Indexverschiebung selbst.
Werden die Grenzen um +3 verschoben, muss man vom Laufindex 3 abziehen.
Oder in kurz: Addiere 3 auf die Grenzen, ersetze n durch (n-3).
In Allgemein: Addiere k auf die Grenzen, ersetze n durch (n-k) für beliebiges [mm] $k\in\IZ$
[/mm]
Gruß,
Gono
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