2 Kreise in Parabel < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Do 27.10.2011 | | Autor: | pn713 |
| Aufgabe | | k1 und k2 seie die Kreise durch A(8/-4), welche die Kurve k: [mm] y^2=10x [/mm] doppelt berühren. Berechne die Fläche, die k, k1 und k2 einschließen, und das Volumen, wenn diese Fläche um die x-Achse kreist! |
Brauche dringend Hilfe. Fläche und Volumen sollten schon machbar sein, ich hab aber keine Ahnung, wie ich die beiden Kreise finden kann. Vermute aber stark, dass beide ihren Mittelpunkt auf der x-Achse haben.
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/2-Kreise-in-Parabel
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Hallo pn713 und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ...ich hab aber keine Ahnung, wie ich die beiden
> Kreise finden kann. Vermute aber stark, dass beide ihren
> Mittelpunkt auf der x-Achse haben.
deine Vermutung ist völlig richtig: das Schaubild von [mm] y^2=10*x [/mm] ist eine liegende, nach rechts geöffnete Parabel mit der x-Achse als Symmetrieachse. Wenn ein Kreis diese Parabel doppelt berühren soll, so muss sein Mittelpunkt ebenfalls auf der x-Achse liegen.
Setze doch mal so an:
Die allgemeine Gleichung für einen Kreis mit Mittelpunkt auf der x-Achse leutet ja
[mm]K: (x-x_M)^2+y^2=r^2[/mm]
Durch Einsetzen von A erhältst du eine Beziehung zwischen [mm] x_M [/mm] und r. Diese löst du zweckmäßigerweise nach [mm] y^2 [/mm] auf. Du hast nun einen von [mm] x_M [/mm] abhängigen Term für das Radiusquadrat des Kreises. Seine Gleichung enthält somit jetzt noch einen Parameter.
Setze nun in die so erhaltene Kreisgleichung die Parabelgleichung ein und bestimme [mm] x_M [/mm] so, dass hierbei nur Doppellösungen auftreten. Ist dir klar, welchen Sinn und Zweck das hat?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Do 27.10.2011 | | Autor: | pn713 |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Eingesetzt komm ich auf: [mm] m^2-16m+80 [/mm] = [mm] r^2, [/mm] leider hab ich nicht ganz verstanden wie du das meinst diese Gleichung nach [mm] y^2 [/mm] aufzulösen.
Das mit der Doppellösung versteh ich so, dass es ja nur genau 2 Kreise geben kann, die alle Bedingungen erfüllen, also es exakt 2 Mittelpunkte auf der x-Achse geben müsste!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
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> Eingesetzt komm ich auf: [mm]m^2-16m+80[/mm] = [mm]r^2,[/mm] leider hab ich
> nicht ganz verstanden wie du das meinst diese Gleichung
> nach [mm]y^2[/mm] aufzulösen.
>
> Das mit der Doppellösung versteh ich so, dass es ja nur
> genau 2 Kreise geben kann, die alle Bedingungen erfüllen,
> also es exakt 2 Mittelpunkte auf der x-Achse geben müsste!
Ja
Ein solcher Kreis hat die Gleichung
[mm] (x-x_0)^2+y^2=r^2
[/mm]
Mach Dir ein Bild, dann siehst Du: [mm] r=\wurzel{10x_0}, [/mm] somit:
$ [mm] (x-x_0)^2+y^2=10x_0$
[/mm]
Da (x|y)= (8|-4) die obige Gleichung erfüllt, bekommst Du eine quadratische Gl. für [mm] x_0
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 27.10.2011 | | Autor: | pn713 |
Danke!! Ich werds so gleich mal probieren!
Leider hab ich noch ein kleines Verständnisproblem. Meiner Meinung ist [mm] r=\wurzel{10x0} [/mm] nur dann erfüllt, wenn der Berührungspunkt von Parabel und Kreis genau über x0 liegt. Das ist aber laut meiner skizze nicht so. Oder lieg ich damit völlig falsch?
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Hallo pn713,
> Leider hab ich noch ein kleines Verständnisproblem. Meiner
> Meinung ist [mm]r=\wurzel{10x0}[/mm] nur dann erfüllt, wenn der
> Berührungspunkt von Parabel und Kreis genau über x0
> liegt. Das ist aber laut meiner skizze nicht so. Oder lieg
> ich damit völlig falsch?
Sagen wirs mal so: Deine Skizze hat Recht. Der Berührungspunkt liegt immer "links von" [mm] x_0.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Do 27.10.2011 | | Autor: | pn713 |
danke, aber stimmt die Gleichung [mm] r=\wurzel{10x0} [/mm] dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Fr 28.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja sie stimmt für jeden kreis der beide Parabeläste berührt.
aber das solltest du begründen können.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:45 Fr 28.10.2011 | | Autor: | pn713 |
| Aufgabe | | k1 und k2 seie die Kreise durch A(8/-4), welche die Kurve k: doppelt berühren. Berechne die Fläche, die k, k1 und k2 einschließen, und das Volumen, wenn diese Fläche um die x-Achse kreist! |
Ich kann es aber leider nicht begründen. Und ich versteh es auch nicht, wenn man den Punkt in die Kreisgleichung einsetzt, bekommt man ja einen y-Wert höher als der y-Wert vom Berührpunkt P. Ich hänge einmal eine Skizze an, der Einfachkeit wegen nur mit einem Kreis!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo nochmal,
> k1 und k2 seie die Kreise durch A(8/-4), welche die Kurve
> k: doppelt berühren. Berechne die Fläche, die k, k1 und
> k2 einschließen, und das Volumen, wenn diese Fläche um
> die x-Achse kreist!
>
> Ich kann es aber leider nicht begründen. Und ich versteh
> es auch nicht, wenn man den Punkt in die Kreisgleichung
> einsetzt, bekommt man ja einen y-Wert höher als der y-Wert
> vom Berührpunkt P.
Ich verstehe nicht, was Du hier meinst. Kannst Du das bitte mal vorrechnen?
Falls du meinst, dass die Funktionsgleichung (der liegenden Parabel) einen höheren (y-)Funktionswert auswirft als den des Berührpunktes, so zeigt Deine Skizze doch deutlich, warum das so ist.
> Ich hänge einmal eine Skizze an, der
> Einfachkeit wegen nur mit einem Kreis!
Ja, sehr schön. Das ist eine instruktive Skizze. Ich nehme an, Du hast auch längst die Skizze mit zwei Kreisen (wie die im Antwortpost im anderen Forum heute Vormittag).
Daraus müsste doch so ziemlich alles ersichtlich sein. Oder?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:42 Fr 28.10.2011 | | Autor: | pn713 |
hey, ich glaub jetzt geht mir endlich ein Licht auf!
Danke für die Hilfe an alle!
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